Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a cônica representada pela equação , desenhar um esboço dela e detalhar características como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz, quando existirem. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar qual cônica estamos tratando. A equação dada é:
Vamos isolar os termos para conseguir a forma padrão. Adicionando 4 aos dois lados:
Agora, dividimos todos os termos por 4 para simplificar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, essa equação está na forma padrão de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse centrada na origem é:
Comparando com a nossa equação , percebemos que:
Portanto, e .

Passo 4

Como , isso significa que a elipse está esticada ao longo do eixo y. Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma elipse na forma :
  • Os vértices no eixo y estão em
  • Os vértices no eixo x estão em
No nosso caso:
  • Vértices no eixo y:
  • Vértices no eixo x:

Passo 5

Vamos determinar os focos da elipse. A distância focal é dada por:
Substituindo:
Então, os focos estão localizados em , ou seja, .

Passo 6

Para uma elipse, não existem assíntotas, já que as assíntotas são características de hipérboles e parábolas. Também não temos diretriz para elipses, pois as diretrizes são utilizadas principalmente em parábolas e hipérboles.

Passo 7

Agora, vamos resumir:
  • Cônica Identificada: Elipse
  • Vértices: , , ,
  • Focos: ,
  • Distância Focal:
  • Assíntotas: Não existem para elipses
  • Diretriz: Não existe para elipses

Resposta

A equação representa uma elipse com vértices em e , focos em , distância focal . Não possui assíntotas nem diretriz.

Exercícios relacionados

Verifique todo ponto da forma , pertence à elipse .
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).