Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a cônica representada pela equação
, desenhar um esboço dela e detalhar características como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz, quando existirem. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para identificar qual cônica estamos tratando. A equação dada é:
Vamos isolar os termos para conseguir a forma padrão. Adicionando 4 aos dois lados:
Agora, dividimos todos os termos por 4 para simplificar:
Simplificando:
Passo 3
Agora, essa equação está na forma padrão de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse centrada na origem é:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que:
Portanto,
e
.
Passo 4
Como
, isso significa que a elipse está esticada ao longo do eixo y. Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma elipse na forma
:
- Os vértices no eixo y estão em
- Os vértices no eixo x estão em
No nosso caso:
- Vértices no eixo y:
- Vértices no eixo x:
Passo 5
Vamos determinar os focos da elipse. A distância focal
é dada por:
Substituindo:
Então, os focos estão localizados em
, ou seja,
.
Passo 6
Para uma elipse, não existem assíntotas, já que as assíntotas são características de hipérboles e parábolas. Também não temos diretriz para elipses, pois as diretrizes são utilizadas principalmente em parábolas e hipérboles.
Passo 7
Agora, vamos resumir:
- Cônica Identificada: Elipse
- Vértices:
, , , - Focos:
, - Distância Focal:
- Assíntotas: Não existem para elipses
- Diretriz: Não existe para elipses
Resposta
A equação
representa uma elipse com vértices em
e
, focos em
, distância focal
. Não possui assíntotas nem diretriz.
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Verifique todo ponto da forma
, pertence à elipse
.
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).