Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). 16 x^2-4+4 y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a cônica representada pela equação , desenhar um esboço dela e detalhar características como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz, quando existirem. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar qual cônica estamos tratando. A equação dada é:
16x^2 - 4 + 4y^2 = 0
Vamos isolar os termos para conseguir a forma padrão. Adicionando 4 aos dois lados:
16x^2 + 4y^2 = 4
Agora, dividimos todos os termos por 4 para simplificar:
16x^24 + 4y^24 = 44
Simplificando:
4x^2 + y^2 = 1

Passo 3

Agora, essa equação está na forma padrão de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse centrada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação x^2(12)^2 + y^21^2 = 1, percebemos que:
Portanto, e .

Passo 4

Como , isso significa que a elipse está esticada ao longo do eixo y. Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma elipse na forma :
  • Os vértices no eixo y estão em
  • Os vértices no eixo x estão em
No nosso caso:
  • Vértices no eixo y:
  • Vértices no eixo x:

Passo 5

Vamos determinar os focos da elipse. A distância focal c = raizb^2 - a^2 é dada por:
c = raiz1^2 - (12)^2 = raiz1 - 14 = raiz34 = raiz32
Substituindo:
Então, os focos estão localizados em , ou seja, .

Passo 6

Para uma elipse, não existem assíntotas, já que as assíntotas são características de hipérboles e parábolas. Também não temos diretriz para elipses, pois as diretrizes são utilizadas principalmente em parábolas e hipérboles.

Passo 7

Agora, vamos resumir:
  • Cônica Identificada: Elipse
  • Vértices: , , ,
  • Focos: ,
  • Distância Focal:
  • Assíntotas: Não existem para elipses
  • Diretriz: Não existe para elipses

Resposta

A equação representa uma elipse com vértices em e , focos em , distância focal . Não possui assíntotas nem diretriz.

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