Verifique todo ponto da forma P(t)=(2 cos t, 2 raiz3 sen t), t in R, pertence à elipse x^24+y^212=1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por para todo número real . A tarefa é verificar se todos esses pontos pertencem à elipse dada pela equação .
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com elipses. Precisaremos usar substituição na equação da elipse para confirmar se os pontos satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas x = 2 cos t e y = 2 raiz3 sen t do ponto . Temos:
Nosso objetivo é verificar se, ao substituir e na equação da elipse, a igualdade se mantém verdadeira para todo .

Passo 3

Vamos substituir (2 cos t)^24 + (2 raiz3 sen t)^212 = 1 e na equação da elipse:
Agora, vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Calculando o primeiro termo:
(2 cos t)^24 = 4 cos^2 t4 = cos^2 t
Calculando o segundo termo:

Passo 5

Agora, somamos os dois termos que encontramos:
Sabemos, a partir da identidade trigonométrica fundamental, que:

Resposta

Como é sempre verdadeiro para qualquer , concluímos que todo ponto pertence à elipse .

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