Verifique todo ponto da forma
, pertence à elipse
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por para todo número real
. A tarefa é verificar se todos esses pontos
pertencem à elipse dada pela equação
.
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com elipses. Precisaremos usar substituição na equação da elipse para confirmar se os pontos
satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas
e
do ponto
. Temos:
Nosso objetivo é verificar se, ao substituir
e
na equação da elipse, a igualdade
se mantém verdadeira para todo
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação da elipse:
Agora, vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Calculando o primeiro termo:
Calculando o segundo termo:
Passo 5
Agora, somamos os dois termos que encontramos:
Sabemos, a partir da identidade trigonométrica fundamental, que:
Resposta
Como é sempre verdadeiro para qualquer
, concluímos que todo ponto pertence à elipse
.