Escreva a equação, determine os focos e as assíntotas da hipérbole que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A=(3,2) e B=(1, raiz2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem, os focos alinhados em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da hipérbole, distância dos focos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação padrão de uma hipérbole com centro na origem. Dependendo de como os focos estão alinhados, temos duas possibilidades:
  1. Focos no eixo x^2a^2 - y^2b^2 = 1 : y^2a^2 - x^2b^2 = 1
  2. Focos no eixo :
Aqui, é a distância do centro até os vértices, e está relacionado com a abertura da hipérbole. A relação entre , e (a distância dos focos ao centro) é dada por .

Passo 3

Vamos começar assumindo que os focos estão no eixo x^2a^2 - y^2b^2 = 1 . Assim, nossa equação é 3^2a^2 - 2^2b^2 = 1 . Como a hipérbole passa pelos pontos 9a^2 - 4b^2 = 1 e 1^2a^2 - (raiz2)^2b^2 = 1 , substituímos as coordenadas desses pontos na equação para obtermos um sistema de equações:
Para 1a^2 - 2b^2 = 1 :
Para :

Passo 4

Agora, temos o sistema de duas equações com duas incógnitas:
9a^2 - 4b^2 = 1 1a^2 - 2b^2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a segunda equação por 4 para facilitar a eliminação de uma das variáveis:
4a^2 - 8b^2 = 4
Agora, subtraímos essa nova equação da primeira:
(9a^2 - 4b^2) - (4a^2 - 8b^2) = 1 - 4
5a^2 + 4b^2 = -3
Aqui percebemos que algo está errado, já que temos somas de frações positivas igualando a um número negativo, o que não faz sentido. Isso indica que nossa suposição inicial sobre os focos estarem no eixo está incorreta.

Passo 5

Vamos tentar outra abordagem assumindo que os focos estão no eixo y^2a^2 - x^2b^2 = 1 . Assim, a equação da hipérbole fica:
2^2a^2 - 3^2b^2 = 1
Substituindo os pontos 4a^2 - 9b^2 = 1 e (raiz2)^2a^2 - 1^2b^2 = 1 :
Para 2a^2 - 1b^2 = 1 :
Para :

Passo 6

Agora, temos o sistema:
4a^2 - 9b^2 = 1 2a^2 - 1b^2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Multiplicamos a segunda equação por 4 para alinhar os coeficientes de 8a^2 - 4b^2 = 4 :
(8a^2 - 4b^2) - (4a^2 - 9b^2) = 4 - 1
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equação:
4a^2 + 5b^2 = 3

Passo 7

Vamos expressar 2a^2 - 1b^2 = 1 da segunda equação original:
2a^2 = 1 + 1b^2
1a^2 = 12 + 12b^2
4a^2 + 5b^2 = 3
Substituindo na equação resultante do Passo 6:
4(12 + 12b^2) + 5b^2 = 3
2 + 2b^2 + 5b^2 = 3
2 + 7b^2 = 3
7b^2 = 1
b^2 = 7
b = raiz7

Passo 8

Agora que temos 1a^2 = 12 + 12 times 7 , retornamos à expressão de 1a^2 = 12 + 114 :
1a^2 = 7 + 114
1a^2 = 814
1a^2 = 47
a^2 = 74
a = raiz72

Passo 9

Agora que temos y^274 - x^27 = 1 e 4y^27 - x^27 = 1 , podemos escrever a equação da hipérbole:
4y^2 - x^27 = 1
4y^2 - x^2 = 7
y^274 - x^27 = 1

Passo 10

Com c^2 = 74 + 7 , calculamos c^2 = 74 + 284 :
c^2 = 354
c = raiz352
Os focos estão no eixo , então suas coordenadas são .

Passo 11

As assíntotas de uma hipérbole na forma y = pm abx são dadas por:
y = pm raiz72raiz7x
Substituindo y = pm 12x e :

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^274 - x^27 = 1
Os focos estão localizados em:
(0, pm raiz352)
As assíntotas são as retas:
y = 12x e y = -12x

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