Escreva a equação, determine os focos e as assíntotas da hipérbole que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem, os focos alinhados em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da hipérbole, distância dos focos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação padrão de uma hipérbole com centro na origem. Dependendo de como os focos estão alinhados, temos duas possibilidades:
- Focos no eixo
: - Focos no eixo
:
Aqui,
é a distância do centro até os vértices, e
está relacionado com a abertura da hipérbole. A relação entre
,
e
(a distância dos focos ao centro) é dada por
.
Passo 3
Vamos começar assumindo que os focos estão no eixo
. Assim, nossa equação é
. Como a hipérbole passa pelos pontos
e
, substituímos as coordenadas desses pontos na equação para obtermos um sistema de equações:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, temos o sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a segunda equação por 4 para facilitar a eliminação de uma das variáveis:
Agora, subtraímos essa nova equação da primeira:
Aqui percebemos que algo está errado, já que temos somas de frações positivas igualando a um número negativo, o que não faz sentido. Isso indica que nossa suposição inicial sobre os focos estarem no eixo
está incorreta.
Passo 5
Vamos tentar outra abordagem assumindo que os focos estão no eixo
. Assim, a equação da hipérbole fica:
Substituindo os pontos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Multiplicamos a segunda equação por 4 para alinhar os coeficientes de
:
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equação:
Passo 7
Vamos expressar
da segunda equação original:
Substituindo na equação resultante do Passo 6:
Passo 8
Agora que temos
, retornamos à expressão de
:
Passo 9
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação da hipérbole:
Passo 10
Com
, calculamos
:
Os focos estão no eixo
, então suas coordenadas são
.
Passo 11
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da hipérbole é:
Os focos estão localizados em:
As assíntotas são as retas: