Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). 4 x^2+2 y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar que tipo de cônica está representada pela equação . Depois, a gente tem que fazer um desenho à mão livre dessa cônica e apontar seus focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas das cônicas (elipse, hipérbole, parábola) e saber como identificar cada uma a partir da equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação. A equação dada é:
4x^2 + 2y^2 = 1
Podemos dividir todos os termos por 1 para manter a equação igual:
4x^21 + 2y^21 = 1

Passo 3

Agora, vamos transformar essa equação para a forma padrão das cônicas. Queremos que os coeficientes de x^214 + y^212 = 1 e x^2a^2 + y^2b^2 = 1 sejam 1 ou estejam em relação com e . Dividindo cada termo pelo coeficiente correspondente:
Isso nos dá:
onde e .

Passo 4

Comparando com as formas padrão das cônicas, vemos que a equação está na forma de uma elipse, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Isso significa que nossa cônica é uma elipse. Nas elipses, é o semieixo maior e é o semieixo menor.

Passo 5

Vamos calcular a = raiz14 = 12 e b = raiz12 = raiz22 :
Então, e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a distância focal c^2 = a^2 - b^2 da elipse. A relação entre c^2 = (12)^2 - (raiz22)^2 = 14 - 24 = -14 , e é:
Substituindo os valores:
Hmm, encontramos um valor negativo para , o que não é possível. Isso indica que houve um erro na identificação da cônica. Vamos revisar.

Passo 7

Na verdade, ao comparar os coeficientes, percebemos que a equação c^2 = |a^2 - b^2| está na forma de uma elipse, já que ambos os termos são positivos e diferentes. No entanto, para encontrar c^2 = |14 - 24| = |-14| = 14 , a fórmula correta para elipses é:
Vamos recalcular:
Então, .

Passo 8

Com Vértices: (0, pm b) = (0, pm raiz22) , Focos: (0, pm c) = (0, pm 12) e encontrados, podemos identificar os elementos da elipse:
  • Vértices: São os pontos mais afastados do centro ao longo do eixo maior. Aqui, o eixo maior é o eixo , já que . é
  • Focos: São os pontos internos à elipse que determinam sua forma.
  • Distância focal: Já calculamos .

Passo 9

Como estamos lidando com uma elipse, não existem assíntotas nem diretrizes específicas para esta cônica. Assíntotas são características de hipérboles, e diretrizes podem ser definidas para parábolas e elipses, mas neste exercício, não foi solicitado.

Passo 10

Agora, para o esboço à mão livre da elipse, centralizada na origem:
  1. Marque os vértices em e .
  2. Marque os focos em e .
  3. Desenhe a elipse passando pelos vértices e mantendo a simetria em torno dos eixos e .

Resposta

A cônica representada pela equação é uma elipse com vértices em , focos em e distância focal . Não possui assíntotas. O esboço da elipse é centrado na origem, com os vértices e focos conforme descrito.

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