Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar que tipo de cônica está representada pela equação . Depois, a gente tem que fazer um desenho à mão livre dessa cônica e apontar seus focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas das cônicas (elipse, hipérbole, parábola) e saber como identificar cada uma a partir da equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação. A equação dada é:
Podemos dividir todos os termos por 1 para manter a equação igual:
Passo 3
Agora, vamos transformar essa equação para a forma padrão das cônicas. Queremos que os coeficientes de e sejam 1 ou estejam em relação com e . Dividindo cada termo pelo coeficiente correspondente:
Isso nos dá:
onde e .
Passo 4
Comparando com as formas padrão das cônicas, vemos que a equação está na forma de uma elipse, que é:
Isso significa que nossa cônica é uma elipse. Nas elipses, é o semieixo maior e é o semieixo menor.
Passo 5
Vamos calcular e :
Então, e .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a distância focal da elipse. A relação entre , e é:
Substituindo os valores:
Hmm, encontramos um valor negativo para , o que não é possível. Isso indica que houve um erro na identificação da cônica. Vamos revisar.
Passo 7
Na verdade, ao comparar os coeficientes, percebemos que a equação está na forma de uma elipse, já que ambos os termos são positivos e diferentes. No entanto, para encontrar , a fórmula correta para elipses é:
Vamos recalcular:
Então, .
Passo 8
Com , e encontrados, podemos identificar os elementos da elipse:
Vértices: São os pontos mais afastados do centro ao longo do eixo maior. Aqui, o eixo maior é o eixo , já que .é
Focos: São os pontos internos à elipse que determinam sua forma.
Distância focal: Já calculamos .
Passo 9
Como estamos lidando com uma elipse, não existem assíntotas nem diretrizes específicas para esta cônica. Assíntotas são características de hipérboles, e diretrizes podem ser definidas para parábolas e elipses, mas neste exercício, não foi solicitado.
Passo 10
Agora, para o esboço à mão livre da elipse, centralizada na origem:
Marque os vértices em e .
Marque os focos em e .
Desenhe a elipse passando pelos vértices e mantendo a simetria em torno dos eixos e .
Resposta
A cônica representada pela equação é uma elipse com vértices em , focos em e distância focal . Não possui assíntotas. O esboço da elipse é centrado na origem, com os vértices e focos conforme descrito.