Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear
que pega uma matriz
e a transforma em um vetor em
. Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo dessa transformação. O núcleo de
, também chamado de ker T, é o conjunto de todas as matrizes que, quando aplicamos
, resultam no vetor zero.
Para resolver isso, precisaremos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares e núcleos. Vamos seguir passo a passo para encontrar essa base.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a transformação
de forma mais clara. A transformação é dada por:
Queremos encontrar todas as matrizes
que pertencem ao núcleo de
, ou seja, que satisfazem
.
Passo 3
Para que
, devemos ter:
A segunda equação é sempre verdadeira, então a única condição que precisamos considerar é
.
Passo 4
A equação
nos permite expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para
:
Agora, podemos expressar qualquer matriz no núcleo de
da seguinte forma:
Passo 5
Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos expressar
como uma combinação linear de matrizes básicas. Observamos que
,
e
são parâmetros livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Assim, podemos reescrever
da seguinte maneira:
Passo 6
As matrizes que aparecem na combinação linear acima são:
Essas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz no núcleo pode ser escrita como uma combinação linear delas. Portanto, elas formam uma base para o núcleo de
.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é o conjunto das seguintes matrizes:
Exercícios relacionados
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por