Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear que pega uma matriz e a transforma em um vetor em . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo dessa transformação. O núcleo de , também chamado de ker T, é o conjunto de todas as matrizes que, quando aplicamos , resultam no vetor zero.
Para resolver isso, precisaremos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares e núcleos. Vamos seguir passo a passo para encontrar essa base.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a transformação de forma mais clara. A transformação é dada por:
Queremos encontrar todas as matrizes que pertencem ao núcleo de , ou seja, que satisfazem .

Passo 3

Para que , devemos ter:
A segunda equação é sempre verdadeira, então a única condição que precisamos considerar é .

Passo 4

A equação nos permite expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para :
Agora, podemos expressar qualquer matriz no núcleo de da seguinte forma:

Passo 5

Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos expressar como uma combinação linear de matrizes básicas. Observamos que , e são parâmetros livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Assim, podemos reescrever da seguinte maneira:

Passo 6

As matrizes que aparecem na combinação linear acima são:
Essas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz no núcleo pode ser escrita como uma combinação linear delas. Portanto, elas formam uma base para o núcleo de .

Resposta

Uma base para o núcleo de é o conjunto das seguintes matrizes:

Exercícios relacionados

Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
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