Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
T: M(2 times 2) longrightarrow R^2 dada por
T((ll a11 & a12 a21 & a22 ))=(a11+a22, 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear que pega uma matriz e a transforma em um vetor em . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo dessa transformação. O núcleo de , também chamado de ker T, é o conjunto de todas as matrizes que, quando aplicamos , resultam no vetor zero.
Para resolver isso, precisaremos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares e núcleos. Vamos seguir passo a passo para encontrar essa base.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a transformação T( a11 & a12 a21 & a22 ) = a11 + a22 0 de forma mais clara. A transformação é dada por:
a11 & a12 a21 & a22
Queremos encontrar todas as matrizes 0 0 que pertencem ao núcleo de , ou seja, que satisfazem .

Passo 3

Para que 0 0 , devemos ter:
a11 + a22 = 0 0 = 0
A segunda equação é sempre verdadeira, então a única condição que precisamos considerar é .

Passo 4

A equação a22 = -a11 nos permite expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para A = a11 & a12 a21 & -a11 :
Agora, podemos expressar qualquer matriz no núcleo de da seguinte forma:

Passo 5

Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos expressar A = a11 1 & 0 0 & -1 + a12 0 & 1 0 & 0 + a21 0 & 0 1 & 0 como uma combinação linear de matrizes básicas. Observamos que , e são parâmetros livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Assim, podemos reescrever da seguinte maneira:

Passo 6

As matrizes que aparecem na combinação linear acima são:
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0
Essas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz no núcleo pode ser escrita como uma combinação linear delas. Portanto, elas formam uma base para o núcleo de .

Resposta

Uma base para o núcleo de 1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 é o conjunto das seguintes matrizes:

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