Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma cônica. A equação que temos é . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, desenhar um esboço à mão livre e determinar seus elementos principais, como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de cônicas, especificamente a identificação e análise de hipérboles, parábolas e elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para identificar melhor a cônica. A equação dada é:
Vamos isolar os termos:

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação na forma padrão das cônicas para facilitar a identificação. Sabemos que a forma geral de uma hipérbole que abre horizontalmente é:
Comparando com a nossa equação , percebemos que o lado direito deveria ser positivo para corresponder à forma padrão. Então, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, a equação está na forma:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole que abre verticalmente.

Passo 4

Identificando os parâmetros da hipérbole:
  • então
  • então
Para uma hipérbole na forma :
  • Vértices estão em
  • Focos são determinados por , então os focos estão em
  • Assíntotas são as linhas
  • Diretriz: Para hipérboles, a diretriz está relacionada à distância focal, mas geralmente não é representada da mesma forma que em parábolas.

Passo 5

Agora, vamos fazer um esboço à mão livre da hipérbole:
  1. Desenhe os eixos coordenados.
  2. Marque os vértices em e .
  3. Marque os focos em e .
  4. Desenhe as assíntotas, que são as linhas e .
  5. Esboce a hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A equação representa uma hipérbole que abre verticalmente. Seus principais elementos são:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Distância focal:
  • Assíntotas: As linhas e
  • Diretriz: Não aplicável de maneira comum para hipérboles
O esboço inclui uma hipérbole abrindo para cima e para baixo, com vértices e focos marcados, e as assíntotas como linhas guia.

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Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Considere o sistema linear com três equações e duas variáveis
Esboce as três retas representadas pelas três equações acima.
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).