Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma cônica. A equação que temos é
. Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, desenhar um esboço à mão livre e determinar seus elementos principais, como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de cônicas, especificamente a identificação e análise de hipérboles, parábolas e elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para identificar melhor a cônica. A equação dada é:
Vamos isolar os termos:
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação na forma padrão das cônicas para facilitar a identificação. Sabemos que a forma geral de uma hipérbole que abre horizontalmente é:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que o lado direito deveria ser positivo para corresponder à forma padrão. Então, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, a equação está na forma:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole que abre verticalmente.
Passo 4
Identificando os parâmetros da hipérbole:
-
então -
então
Para uma hipérbole na forma
:
- Vértices estão em
→ - Focos são determinados por
, então os focos estão em - Assíntotas são as linhas
- Diretriz: Para hipérboles, a diretriz está relacionada à distância focal, mas geralmente não é representada da mesma forma que em parábolas.
Passo 5
Agora, vamos fazer um esboço à mão livre da hipérbole:
- Desenhe os eixos coordenados.
- Marque os vértices em
e . - Marque os focos em
e . - Desenhe as assíntotas, que são as linhas
e . - Esboce a hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole que abre verticalmente. Seus principais elementos são:
- Vértices:
e - Focos:
e - Distância focal:
- Assíntotas: As linhas
e - Diretriz: Não aplicável de maneira comum para hipérboles
O esboço inclui uma hipérbole abrindo para cima e para baixo, com vértices e focos marcados, e as assíntotas como linhas guia.
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Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Considere o sistema linear com três equações e duas variáveis
Esboce as três retas representadas pelas três equações acima.
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).