Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar uma base para a imagem da transformação linear que vai de matrizes para . A transformação é dada por:
Então, vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagem de uma transformação linear, bases e vetores linearmente independentes para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os possíveis resultados quando varia em . Queremos encontrar uma base para esse conjunto, ou seja, um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram toda a imagem.

Passo 3

Para encontrar a imagem, vamos expressar em termos das variáveis :
Podemos reescrever isso como uma combinação linear das variáveis:

Passo 4

Agora, identificamos os vetores que são multiplicados pelas variáveis:
Note que o último vetor está repetido. Isso significa que podemos descartar uma das repetições para evitar dependência linear.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores restantes são linearmente independentes. Temos:
Esses três vetores não são múltiplos uns dos outros e, portanto, são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para a imagem da transformação é:

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dada por
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