Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar uma base para a imagem da transformação linear
que vai de matrizes
para
. A transformação é dada por:
Então, vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagem de uma transformação linear, bases e vetores linearmente independentes para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os possíveis resultados
quando
varia em
. Queremos encontrar uma base para esse conjunto, ou seja, um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram toda a imagem.
Passo 3
Para encontrar a imagem, vamos expressar
em termos das variáveis
:
Podemos reescrever isso como uma combinação linear das variáveis:
Passo 4
Agora, identificamos os vetores que são multiplicados pelas variáveis:
Note que o último vetor está repetido. Isso significa que podemos descartar uma das repetições para evitar dependência linear.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores restantes são linearmente independentes. Temos:
Esses três vetores não são múltiplos uns dos outros e, portanto, são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para a imagem da transformação
é:
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