Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que representa uma cônica:
. Nosso trabalho aqui é descobrir que tipo de cônica é essa, desenhar um esboço dela à mão e identificar algumas características importantes como focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz (se existir). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as formas padrão das cônicas e saber como identificar e extrair suas características a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é
. Para facilitar, vamos rearranjar essa equação para colocá-la numa forma que a gente reconheça mais facilmente. Dividindo ambos os lados por -36, temos:
Simplificando isso, fica:
Rearranjando:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole vertical, onde a variável
está positiva. Então, concluímos que a cônica em questão é uma hipérbole.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma hipérbole, vamos colocar a equação na forma padrão para hipérboles verticais:
No nosso caso,
e
, então a equação simplificada é:
Aqui,
e
. Portanto,
e
.
Passo 4
Vamos determinar a orientação da hipérbole. Como o termo
está positivo na equação padrão, isso indica que a hipérbole está orientada verticalmente, ou seja, abre para cima e para baixo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro. Nosso centro é
, então:
Portanto, os vértices são nos pontos
e
.
Passo 6
Vamos calcular os focos da hipérbole. A distância dos focos ao centro é dada por
, onde:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão a
unidades do centro, nas direções vertical:
Passo 7
Vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que passam pelo centro e têm inclinação dada por
. Calculando:
Portanto, as equações das assíntotas são:
Passo 8
Por fim, vamos encontrar as diretrizes da hipérbole. Para uma hipérbole vertical, as diretrizes estão localizadas a uma distância
do centro. Calculando:
Então, as diretrizes são linhas horizontais localizadas em:
Resposta
A equação
representa uma hipérbole vertical. Os principais elementos dessa hipérbole são:
- Vértices:
e - Focos:
e - Distância focal ©:
unidades - Assíntotas: As retas
e - Diretrizes: As linhas horizontais
e
O esboço à mão livre da hipérbole mostraria duas curvas abertas para cima e para baixo, com os vértices e focos marcados, assíntotas como linhas guias que a curva se aproxima, e as diretrizes posicionadas horizontalmente acima e abaixo da hipérbole.