Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). 9 x^2-y^2=-36

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que representa uma cônica: . Nosso trabalho aqui é descobrir que tipo de cônica é essa, desenhar um esboço dela à mão e identificar algumas características importantes como focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz (se existir). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as formas padrão das cônicas e saber como identificar e extrair suas características a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é 9x^2-36 - y^2-36 = 1 . Para facilitar, vamos rearranjar essa equação para colocá-la numa forma que a gente reconheça mais facilmente. Dividindo ambos os lados por -36, temos:
-x^24 + y^236 = 1
Simplificando isso, fica:
y^236 - x^24 = 1
Rearranjando:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole vertical, onde a variável está positiva. Então, concluímos que a cônica em questão é uma hipérbole.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma hipérbole, vamos colocar a equação na forma padrão para hipérboles verticais:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
No nosso caso, y^236 - x^24 = 1 e , então a equação simplificada é:
Aqui, e . Portanto, e .

Passo 4

Vamos determinar a orientação da hipérbole. Como o termo está positivo na equação padrão, isso indica que a hipérbole está orientada verticalmente, ou seja, abre para cima e para baixo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão localizados a uma distância Vértices: (0, pm a) = (0, pm 6) acima e abaixo do centro. Nosso centro é , então:
é
Portanto, os vértices são nos pontos e .

Passo 6

Vamos calcular os focos da hipérbole. A distância dos focos ao centro é dada por c^2 = a^2 + b^2 , onde:
c^2 = 36 + 4 = 40 implies c = raiz40 = 2raiz10
Substituindo os valores:
Focos: (0, pm 2raiz10)
Então, os focos estão a unidades do centro, nas direções vertical:

Passo 7

Vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que passam pelo centro e têm inclinação dada por Inclinação das assíntotas: pm 62 = pm 3 . Calculando:
y = 3x e y = -3x çãí
Portanto, as equações das assíntotas são:

Passo 8

Por fim, vamos encontrar as diretrizes da hipérbole. Para uma hipérbole vertical, as diretrizes estão localizadas a uma distância a^2c = 362raiz10 = 18raiz10 = 18raiz1010 = 9raiz105 do centro. Calculando:
y = pm 9raiz105
Então, as diretrizes são linhas horizontais localizadas em:

Resposta

A equação representa uma hipérbole vertical. Os principais elementos dessa hipérbole são:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Distância focal ©: unidades
  • Assíntotas: As retas e
  • Diretrizes: As linhas horizontais e
O esboço à mão livre da hipérbole mostraria duas curvas abertas para cima e para baixo, com os vértices e focos marcados, assíntotas como linhas guias que a curva se aproxima, e as diretrizes posicionadas horizontalmente acima e abaixo da hipérbole.

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