(a) Mostre que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A primeira parte (a) quer que a gente mostre que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar entender subespaços vetoriais e como somamos vetores dentro deles.
Passo 2
Vamos pegar um vetor genérico . Queremos encontrar vetores e tais que:
Sabendo que e , onde , substituímos na equação:
Passo 3
Agora, igualamos as componentes correspondentes:
Da última equação, já sabemos que . Substituindo isso nas primeiras duas equações:
Resolvendo para e :
Passo 4
Então, podemos escrever:
Somando esses vetores:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de e .
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar se a soma é direta, ou seja, se . Para isso, precisamos verificar duas coisas:
(já mostramos que toda pode ser escrita como soma de vetores de e ).
(a única interseção entre e é o vetor zero).
Passo 6
Vamos encontrar . Seja . Então, deve pertencer a ambos os subespaços:
Igualando as componentes:
Da última equação, temos que . Logo, . Portanto, , que é o único vetor na interseção.
Resposta
(a) Sim, qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .