Considere os subespaços W1 e W2 de R^3 definidos como:
W1=(x, x, x) in R^3 mid x in R, W2=(x, y, 0) in R^3 mid x, y in R
(a) Mostre que qualquer vetor v in R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor em W1 e um vetor em W2, ou seja, R^3=W1+W2.
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se R^3=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de W1 = (x, x, x) in R^3 mid x in R, W2 = (x, y, 0) in R^3 mid x, y in R :
A primeira parte (a) quer que a gente mostre que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar entender subespaços vetoriais e como somamos vetores dentro deles.

Passo 2

Vamos pegar um vetor genérico v = w1 + w2 . Queremos encontrar vetores (v1, v2, v3) = (a, a, a) + (b, c, 0) = (a + b, a + c, a) e tais que:
Sabendo que e , onde , substituímos na equação:

Passo 3

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
a + b = v1 a + c = v2 a = v3
Da última equação, já sabemos que v3 + b = v1 v3 + c = v2 . Substituindo isso nas primeiras duas equações:
b = v1 - v3 c = v2 - v3
Resolvendo para e :

Passo 4

Então, podemos escrever:
w1 = (v3, v3, v3) in W1
w2 = (v1 - v3, v2 - v3, 0) in W2
Somando esses vetores:
w1 + w2 = (v3 + v1 - v3, v3 + v2 - v3, v3 + 0) = (v1, v2, v3) = v
Isso mostra que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de e .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar se a soma é direta, ou seja, se . Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. (já mostramos que toda pode ser escrita como soma de vetores de e ).
  2. (a única interseção entre e é o vetor zero).

Passo 6

Vamos encontrar u = (a, a, a) in W1 . Seja u = (b, c, 0) in W2 . Então, a = b a = c a = 0 deve pertencer a ambos os subespaços:
Igualando as componentes:
Da última equação, temos que . Logo, . Portanto, , que é o único vetor na interseção.

Resposta

(a) Sim, qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Sim, a soma é direta, ou seja, .

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