Considere os subespaços e de definidos como:
(a) Mostre que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A primeira parte (a) quer que a gente mostre que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar entender subespaços vetoriais e como somamos vetores dentro deles.

Passo 2

Vamos pegar um vetor genérico . Queremos encontrar vetores e tais que:
Sabendo que e , onde , substituímos na equação:

Passo 3

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
Da última equação, já sabemos que . Substituindo isso nas primeiras duas equações:
Resolvendo para e :

Passo 4

Então, podemos escrever:
Somando esses vetores:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de e .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar se a soma é direta, ou seja, se . Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. (já mostramos que toda pode ser escrita como soma de vetores de e ).
  2. (a única interseção entre e é o vetor zero).

Passo 6

Vamos encontrar . Seja . Então, deve pertencer a ambos os subespaços:
Igualando as componentes:
Da última equação, temos que . Logo, . Portanto, , que é o único vetor na interseção.

Resposta

(a) Sim, qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Sim, a soma é direta, ou seja, .

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Considere os subespaços de definidos por .
Determine o subespaço , ou seja, o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a e .
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(b) Verifique se essa soma é direta, isto é, .
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).