(a) Mostre que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A primeira parte (a) quer que a gente mostre que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar entender subespaços vetoriais e como somamos vetores dentro deles.
Passo 2
Vamos pegar um vetor genérico . Queremos encontrar vetores e tais que:
Sabendo que e , onde , substituímos na equação:
Passo 3
Agora, igualamos as componentes correspondentes:
Da última equação, já sabemos que v3 + b = v1 v3 + c = v2 . Substituindo isso nas primeiras duas equações: