Considere os subespaços de definidos por .
Determine o subespaço , ou seja, o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a e .

Passo 1

Então, temos um exercício sobre subespaços vetoriais em . Precisamos encontrar o conjunto de vetores que pertencem tanto ao subespaço , definido por , quanto ao subespaço , definido por . Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem e :
Queremos encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Para resolver esse sistema, podemos subtrair a equação (1) da equação (2) para simplificar:
Isso resulta em:
Agora, da equação (3), podemos expressar em termos de :

Passo 4

Com , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :
Então, temos que e .

Passo 5

Agora, podemos expressar , e em termos de um parâmetro livre, digamos , onde . Assim:
Portanto, todos os vetores no intersecção podem ser escritos como , onde é um número real.

Resposta

O subespaço é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Em notação matemática:

Exercícios relacionados

Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Considere o sistema linear com três equações e duas variáveis
Esboce as três retas representadas pelas três equações acima.
Considere os subespaços e de definidos como:
(a) Mostre que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
Seja o espaço vetorial de todas as matrizes reais de ordem 3. Considere os subespaços e de definidos da seguinte forma:
onde e representam a transposta de e , respectivamente.
(a) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica , ou seja, .
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é, .