Considere os subespaços de
definidos por
.
Determine o subespaço
, ou seja, o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a
e
.
Determine o subespaço
Passo 1
Então, temos um exercício sobre subespaços vetoriais em
. Precisamos encontrar o conjunto de vetores que pertencem tanto ao subespaço
, definido por
, quanto ao subespaço
, definido por
. Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem
e
:
Queremos encontrar os valores de
,
e
que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 3
Para resolver esse sistema, podemos subtrair a equação (1) da equação (2) para simplificar:
Isso resulta em:
Agora, da equação (3), podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Com
, vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar
:
Então, temos que
e
.
Passo 5
Agora, podemos expressar
,
e
em termos de um parâmetro livre, digamos
, onde
. Assim:
Portanto, todos os vetores no intersecção
podem ser escritos como
, onde
é um número real.
Resposta
O subespaço
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
. Em notação matemática:
Exercícios relacionados
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Considere o sistema linear com três equações e duas variáveis
Esboce as três retas representadas pelas três equações acima.
Considere os subespaços
e
de
definidos como:
(a) Mostre que qualquer vetor
pode ser escrito como a soma de um vetor em
e um vetor em
, ou seja,
.
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se
Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes reais de ordem 3. Considere os subespaços
e
de
definidos da seguinte forma:
onde
e
representam a transposta de
e
, respectivamente.
(a) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
e uma matriz antissimétrica
, ou seja,
.
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é, .
(a) Mostre que qualquer matriz
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é,