Considere os subespaços de R^3 definidos por W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0, W2=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y+3 z=0.
Determine o subespaço W1 cap W2, ou seja, o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a W1 e W2.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre subespaços vetoriais em . Precisamos encontrar o conjunto de vetores que pertencem tanto ao subespaço , definido por , quanto ao subespaço , definido por . Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem x + y + z = 0 (1) x + 2y + 3z = 0 (2) e :
Queremos encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Para resolver esse sistema, podemos subtrair a equação (1) da equação (2) para simplificar:
(x + 2y + 3z) - (x + y + z) = 0 - 0
Isso resulta em:
y + 2z = 0 (3)
Agora, da equação (3), podemos expressar y = -2z em termos de :

Passo 4

Com x + (-2z) + z = 0 x - z = 0 x = z , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :
Então, temos que e .

Passo 5

Agora, podemos expressar x = t y = -2t z = t , e em termos de um parâmetro livre, digamos , onde . Assim:
Portanto, todos os vetores no intersecção podem ser escritos como , onde é um número real.

Resposta

O subespaço W1 cap W2 = , t, (1, -2, 1) ;midd<=|; t in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Em notação matemática:

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