Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação
e pede para identificarmos que tipo de cônica é essa, além de desenhar um esboço mostrando os elementos principais como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as cônicas, especialmente as parábolas, hipérboles e elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor a cônica. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando
:
Essa forma é semelhante à forma padrão das parábolas, que geralmente é
, onde
é a distância focal.
Passo 3
Comparando
com
, vemos que:
Resolvendo para
:
O fato de
ser negativo indica que a parábola está voltada para o lado esquerdo do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos identificar os elementos da parábola:
- Vértice: Para a forma
, o vértice está na origem, ou seja, no ponto . - Foco: O foco está a uma distância
do vértice na direção para onde a parábola está aberta. Como , o foco fica em . - Diretriz: A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola e fica a uma distância
do vértice, do lado oposto da abertura. Então, a diretriz está em . - Assíntotas: Assíntotas são linhas que a cônica se aproxima mas nunca toca. No caso da parábola, ela não possui assíntotas.
Passo 5
Vamos resumir:
- A cônica é uma parábola.
- Vértice:
- Foco:
- Distância focal (
): unidades (valor absoluto) - Diretriz:
- Assíntotas: Não existem para esta parábola.
Passo 6
Para fazer um esboço à mão livre:
- Desenhe o eixo
e . - Marque o vértice na origem
. - Coloque o foco em
. - Trace a diretriz como uma linha vertical em
. - Desenhe a parábola aberta para a esquerda, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.
Resposta
A equação
representa uma parábola voltada para a esquerda, com vértice em
, foco em
, distância focal de
unidades, e diretriz em
. Não possui assíntotas.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes reais de ordem 3. Considere os subespaços
e
de
definidos da seguinte forma:
onde
e
representam a transposta de
e
, respectivamente.
(a) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
e uma matriz antissimétrica
, ou seja,
.
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é, .
(a) Mostre que qualquer matriz
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é,
Considere os subespaços
e
de
definidos como:
(a) Mostre que qualquer vetor
pode ser escrito como a soma de um vetor em
e um vetor em
, ou seja,
.
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se
Considere os vetores
e
no espaço vetorial
. Prove que esses vetores geram todo o espaço
, ou seja, demonstre que
Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
Se , então
.
Se