Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). y^2+8 x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para identificarmos que tipo de cônica é essa, além de desenhar um esboço mostrando os elementos principais como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as cônicas, especialmente as parábolas, hipérboles e elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor a cônica. A equação dada é:
y^2 + 8x = 0
Podemos reescrever isso isolando y^2 = -8x :
Essa forma é semelhante à forma padrão das parábolas, que geralmente é , onde é a distância focal.

Passo 3

Comparando 4p = -8 com p = -2 , vemos que:
Resolvendo para :
O fato de ser negativo indica que a parábola está voltada para o lado esquerdo do eixo .

Passo 4

Agora, vamos identificar os elementos da parábola:
  • Vértice: Para a forma , o vértice está na origem, ou seja, no ponto .
  • Foco: O foco está a uma distância do vértice na direção para onde a parábola está aberta. Como , o foco fica em .
  • Diretriz: A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola e fica a uma distância do vértice, do lado oposto da abertura. Então, a diretriz está em .
  • Assíntotas: Assíntotas são linhas que a cônica se aproxima mas nunca toca. No caso da parábola, ela não possui assíntotas.

Passo 5

Vamos resumir:
  • A cônica é uma parábola.
  • Vértice:
  • Foco:
  • Distância focal ( ): unidades (valor absoluto)
  • Diretriz:
  • Assíntotas: Não existem para esta parábola.

Passo 6

Para fazer um esboço à mão livre:
  1. Desenhe o eixo e .
  2. Marque o vértice na origem .
  3. Coloque o foco em .
  4. Trace a diretriz como uma linha vertical em .
  5. Desenhe a parábola aberta para a esquerda, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.

Resposta

A equação representa uma parábola voltada para a esquerda, com vértice em , foco em , distância focal de unidades, e diretriz em . Não possui assíntotas.

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