Considere os vetores e no espaço vetorial . Prove que esses vetores geram todo o espaço , ou seja, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que os vetores , e conseguem formar qualquer ponto no espaço tridimensional . Isso significa que a combinação linear desses vetores pode dar qualquer vetor nesse espaço. Para provar isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço R^3.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
O determinante da matriz A é -2, que é diferente de zero. Isso quer dizer que os vetores u, v e w são linearmente independentes.
Passo 6
Como os três vetores são linearmente independentes e estamos trabalhando em um espaço tridimensional, isso garante que eles conseguem gerar todo o espaço R^3. Ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação desses três vetores.
Resposta
Portanto, os vetores u, v e w geram todo o espaço R^3, ou seja: