Considere os vetores u=(1,1,0), v=(1,0,1) e w=(0,1,1) no espaço vetorial R^3. Prove que esses vetores geram todo o espaço R^3, ou seja, demonstre que
R^3=spanu, v, w

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que os vetores u = (1,1,0), v = (1,0,1) e w = (0,1,1) conseguem formar qualquer ponto no espaço tridimensional R^3. Isso significa que a combinação linear desses vetores pode dar qualquer vetor nesse espaço. Para provar isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço R^3.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 1 cdot 0) + 0(1 cdot 1 - 0 cdot 0)

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
  • Primeiro termo: 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1(0 - 1) = -1
  • Segundo termo: -1(1 cdot 1 - 1 cdot 0) = -1(1 - 0) = -1
  • Terceiro termo: 0(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0(1 - 0) = 0
Agora, somando tudo:
det(A) = -1 -1 + 0 = -2

Passo 5

O determinante da matriz A é -2, que é diferente de zero. Isso quer dizer que os vetores u, v e w são linearmente independentes.

Passo 6

Como os três vetores são linearmente independentes e estamos trabalhando em um espaço tridimensional, isso garante que eles conseguem gerar todo o espaço R^3. Ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação desses três vetores.

Resposta

Portanto, os vetores u, v e w geram todo o espaço R^3, ou seja:
R^3 = spanu, v, w

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