Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes reais de ordem 3. Considere os subespaços
e
de
definidos da seguinte forma:
onde
e
representam a transposta de
e
, respectivamente.
(a) Mostre que qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
e uma matriz antissimétrica
, ou seja,
.
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é,
.
(a) Mostre que qualquer matriz
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes 3x3 reais e dois tipos de subespaços:
-
: onde cada matriz é simétrica, ou seja, . -
: onde cada matriz é antissimétrica, ou seja, .
A gente precisa usar conceitos de espaço vetorial e entender como combinar essas matrizes para representar qualquer matriz 3x3. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que qualquer matriz
pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica
e uma antissimétrica
.
Primeiro, vamos lembrar que toda matriz
pode ser decomposta em uma parte simétrica e uma antissimétrica. Isso é feito assim:
Vamos entender cada parte:
-
: Essa parte é simétrica porque se você tirar a transposta, fica igual a ela mesma. -
: Essa parte é antissimétrica porque se você tirar a transposta, muda de sinal.
Então, definimos:
Portanto, qualquer matriz
pode ser escrita como:
Passo 3
Parte (b): Verificar se a soma é direta, ou seja, se
.
Para que a soma seja direta, a interseção dos subespaços
e
deve conter apenas a matriz zero. Ou seja:
Vamos supor que existe uma matriz
que está em
e em
. Então:
e
Juntando as duas igualdades:
Isso implica que:
Portanto, a única matriz que está nos dois subespaços é a matriz zero. Logo, a soma é direta.
Resposta
(a) Qualquer matriz
pode ser escrita como
, onde
é simétrica e
é antissimétrica.
(b) A soma
é direta, já que
.
Exercícios relacionados
Considere os subespaços
e
de
definidos como:
(a) Mostre que qualquer vetor
pode ser escrito como a soma de um vetor em
e um vetor em
, ou seja,
.
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se
Considere os subespaços de
definidos por
.
Determine o subespaço , ou seja, o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a
e
.
Determine o subespaço
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Considere os vetores
e
no espaço vetorial
. Prove que esses vetores geram todo o espaço
, ou seja, demonstre que