Seja o espaço vetorial de todas as matrizes reais de ordem 3. Considere os subespaços e de definidos da seguinte forma:
onde e representam a transposta de e , respectivamente.
(a) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica , ou seja, .
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes 3x3 reais e dois tipos de subespaços:
  • : onde cada matriz é simétrica, ou seja, .
  • : onde cada matriz é antissimétrica, ou seja, .
A gente precisa usar conceitos de espaço vetorial e entender como combinar essas matrizes para representar qualquer matriz 3x3. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica .

Primeiro, vamos lembrar que toda matriz pode ser decomposta em uma parte simétrica e uma antissimétrica. Isso é feito assim:
Vamos entender cada parte:
  • : Essa parte é simétrica porque se você tirar a transposta, fica igual a ela mesma.
  • : Essa parte é antissimétrica porque se você tirar a transposta, muda de sinal.
Então, definimos:
Portanto, qualquer matriz pode ser escrita como:

Passo 3

Parte (b): Verificar se a soma é direta, ou seja, se .

Para que a soma seja direta, a interseção dos subespaços e deve conter apenas a matriz zero. Ou seja:
Vamos supor que existe uma matriz que está em e em . Então:
e
Juntando as duas igualdades:
Isso implica que:
Portanto, a única matriz que está nos dois subespaços é a matriz zero. Logo, a soma é direta.

Resposta

(a) Qualquer matriz pode ser escrita como , onde é simétrica e é antissimétrica.
(b) A soma é direta, já que .

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Considere os subespaços e de definidos como:
(a) Mostre que qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , ou seja, .
(b) Verifique se a soma é direta, isto é, se .
Considere os subespaços de definidos por .
Determine o subespaço , ou seja, o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a e .
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
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