Seja M3(R) o espaço vetorial de todas as matrizes reais de ordem 3. Considere os subespaços W1 e W2 de M3(R) definidos da seguinte forma:
W1=A in M3(R) mid A^T=A, W2=B in M3(R) mid B^T=-B
onde A^T e B^T representam a transposta de A e B, respectivamente.
(a) Mostre que qualquer matriz C in M3(R) pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica A in W1 e uma matriz antissimétrica B in W2, ou seja, M3(R)=W1+W2.
(b) Verifique se essa soma é direta, isto é, M3(R)=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes 3x3 reais e dois tipos de subespaços:
  • W1: onde cada matriz é simétrica, ou seja, A^T = A.
  • W2: onde cada matriz é antissimétrica, ou seja, B^T = -B.
A gente precisa usar conceitos de espaço vetorial e entender como combinar essas matrizes para representar qualquer matriz 3x3. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que qualquer matriz C in M3(R) pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica A in W1 e uma antissimétrica B in W2.

Primeiro, vamos lembrar que toda matriz C pode ser decomposta em uma parte simétrica e uma antissimétrica. Isso é feito assim:
C = C + C^T2 + C - C^T2
Vamos entender cada parte:
  • C + C^T2: Essa parte é simétrica porque se você tirar a transposta, fica igual a ela mesma.
    (C + C^T2)^T = C^T + (C^T)^T2 = C^T + C2 = C + C^T2
  • C - C^T2: Essa parte é antissimétrica porque se você tirar a transposta, muda de sinal.
    (C - C^T2)^T = C^T - (C^T)^T2 = C^T - C2 = -C - C^T2
Então, definimos:
A = C + C^T2 in W1
B = C - C^T2 in W2
Portanto, qualquer matriz C pode ser escrita como:
C = A + B

Passo 3

Parte (b): Verificar se a soma é direta, ou seja, se M3(R) = W1 oplus W2.

Para que a soma seja direta, a interseção dos subespaços W1 e W2 deve conter apenas a matriz zero. Ou seja:
W1 cap W2 = 0
Vamos supor que existe uma matriz X que está em W1 e em W2. Então:
X^T = X (porque X in W1)
e
X^T = -X (porque X in W2)
Juntando as duas igualdades:
X = -X
Isso implica que:
2X = 0 Rightarrow X = 0
Portanto, a única matriz que está nos dois subespaços é a matriz zero. Logo, a soma é direta.

Resposta

(a) Qualquer matriz C in M3(R) pode ser escrita como C = A + B, onde A = C + C^T2 in W1 é simétrica e B = C - C^T2 in W2 é antissimétrica.
(b) A soma M3(R) = W1 oplus W2 é direta, já que W1 cap W2 = 0.

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