Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). 4 x^2+9 y=0

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá a equação . Nosso trabalho aqui é descobrir qual cônica essa equação representa e fazer um desenho dela à mão livre. Além disso, precisamos identificar os focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz, se existirem. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre as diferentes cônicas e suas características.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é 4x^2 = -9y Rightarrow y = -49x^2 . Vamos isolar :

Passo 3

Observando a forma y = a(x - h)^2 + k , percebemos que é uma parábola. Isso porque a variável y = -49(x - 0)^2 + 0 está ao quadrado e está linear. A equação geral de uma parábola vertical é:
Onde é o vértice da parábola.
No nosso caso, a equação pode ser escrita como:
Então, o vértice está na origem .

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância focal -49 = 14p Rightarrow p = -916 . Na equação geral da parábola , temos que . Comparando com a nossa equação:
O valor negativo de indica que a parábola se abre para baixo.

Passo 5

Com , podemos encontrar o foco e a diretriz:
  • Foco: Está localizado a unidades do vértice na direção para onde a parábola se abre. Então, o foco está em .
  • Diretriz: É uma linha reta que está a unidades do vértice na direção oposta à abertura. Assim, a diretriz é a reta .

Passo 6

Como estamos lidando com uma parábola, que é uma cônica do segundo grau, ela não possui assíntotas. Assíntotas geralmente aparecem em hipérboles e retas relacionadas a elas.

Resposta

A equação representa uma parábola que se abre para baixo. Seu vértice está na origem , o foco está no ponto , a diretriz é a reta , e não possui assíntotas.

Exercícios relacionados