Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, o exercício nos dá a equação
. Nosso trabalho aqui é descobrir qual cônica essa equação representa e fazer um desenho dela à mão livre. Além disso, precisamos identificar os focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz, se existirem. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre as diferentes cônicas e suas características.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é
. Vamos isolar
:
Passo 3
Observando a forma
, percebemos que é uma parábola. Isso porque a variável
está ao quadrado e
está linear. A equação geral de uma parábola vertical é:
Onde
é o vértice da parábola.
No nosso caso, a equação pode ser escrita como:
Então, o vértice está na origem
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a distância focal
. Na equação geral da parábola
, temos que
. Comparando com a nossa equação:
O valor negativo de
indica que a parábola se abre para baixo.
Passo 5
Com
, podemos encontrar o foco e a diretriz:
-
Foco: Está localizado a
unidades do vértice na direção para onde a parábola se abre. Então, o foco está em . -
Diretriz: É uma linha reta que está a
unidades do vértice na direção oposta à abertura. Assim, a diretriz é a reta .
Passo 6
Como estamos lidando com uma parábola, que é uma cônica do segundo grau, ela não possui assíntotas. Assíntotas geralmente aparecem em hipérboles e retas relacionadas a elas.
Resposta
A equação
representa uma parábola que se abre para baixo. Seu vértice está na origem
, o foco está no ponto
, a diretriz é a reta
, e não possui assíntotas.
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se sobre o eixo
com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante
a velocidade é de
e no instante
a velocidade é de
, determine:
(i) A velocidade para todo
.
(ii) A função de posição supondo que
.
(i) A velocidade
(ii) A função de posição
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se
então as soluções da equação característica de
são
Use esse resultado para mostrar que
tem
(a) dois autovalores reais distintos se .
(b) um autovalor real se .
© nenhum autovalor real se .
(a) dois autovalores reais distintos se
(b) um autovalor real se
© nenhum autovalor real se