Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá a equação . Nosso trabalho aqui é descobrir qual cônica essa equação representa e fazer um desenho dela à mão livre. Além disso, precisamos identificar os focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz, se existirem. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre as diferentes cônicas e suas características.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é . Vamos isolar :

Passo 3

Observando a forma , percebemos que é uma parábola. Isso porque a variável está ao quadrado e está linear. A equação geral de uma parábola vertical é:
Onde é o vértice da parábola.
No nosso caso, a equação pode ser escrita como:
Então, o vértice está na origem .

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância focal . Na equação geral da parábola , temos que . Comparando com a nossa equação:
O valor negativo de indica que a parábola se abre para baixo.

Passo 5

Com , podemos encontrar o foco e a diretriz:
  • Foco: Está localizado a unidades do vértice na direção para onde a parábola se abre. Então, o foco está em .
  • Diretriz: É uma linha reta que está a unidades do vértice na direção oposta à abertura. Assim, a diretriz é a reta .

Passo 6

Como estamos lidando com uma parábola, que é uma cônica do segundo grau, ela não possui assíntotas. Assíntotas geralmente aparecem em hipérboles e retas relacionadas a elas.

Resposta

A equação representa uma parábola que se abre para baixo. Seu vértice está na origem , o foco está no ponto , a diretriz é a reta , e não possui assíntotas.

Exercícios relacionados

Uma partícula move-se sobre o eixo com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante a velocidade é de e no instante a velocidade é de , determine:
(i) A velocidade para todo .
(ii) A função de posição supondo que .
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se
então as soluções da equação característica de são
Use esse resultado para mostrar que tem
(a) dois autovalores reais distintos se .
(b) um autovalor real se .
© nenhum autovalor real se .