Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que representa uma cônica e pede para identificarmos qual é, além de fazer um esboço e detalhar algumas características dela, como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas. Para resolver isso, vamos precisar entender as formas padrão das cônicas e como identificar cada uma a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
. Nosso objetivo é identificar qual cônica representa essa equação. As principais cônicas são: círculo, elipse, parábola e hipérbola. A presença dos termos
e
com sinais diferentes sugere que estamos lidando com uma hipérbola.
Passo 3
Para confirmar que é uma hipérbola, vamos colocar a equação na forma padrão. A forma padrão da hipérbola com eixo horizontal é:
Vamos dividir toda a equação original por 441 para facilitar:
Simplificando:
Agora, está na forma padrão da hipérbola com centro na origem
,
e
.
Passo 4
Agora que temos a equação na forma padrão, vamos identificar os elementos da hipérbola:
- Centro:
- A e B:
, - Vértices: Como a hipérbola é horizontal, os vértices estão a uma distância
do centro no eixo : - Focos: A distância focal
é dada por . Os focos estão em , ou seja, aproximadamente
Passo 5
Vamos agora determinar as assíntotas da hipérbola. Para uma hipérbola horizontal, as assíntotas são dadas por:
Substituindo
e
:
Estas são as retas que a hipérbola se aproxima à medida que
tende ao infinito.
Passo 6
Por fim, vamos falar sobre a diretriz. A hipérbola não possui uma única diretriz como a parábola, mas sim duas diretrizes associadas a cada lado da hipérbola. A fórmula para a diretriz de uma hipérbola horizontal é:
Substituindo os valores
e
:
Resposta
A equação
representa uma hipérbola.
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e aproximadamente e - Assíntotas:
e - Diretrizes:
e
O esboço à mão livre mostraria a hipérbola com seus vértices, focos, assíntotas e diretrizes claramente marcados.
Exercícios relacionados
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Uma partícula move-se sobre o eixo
com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante
a velocidade é de
e no instante
a velocidade é de
, determine:
(i) A velocidade para todo
.
(ii) A função de posição supondo que
.
(i) A velocidade
(ii) A função de posição
Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se
então as soluções da equação característica de
são
Use esse resultado para mostrar que
tem
(a) dois autovalores reais distintos se .
(b) um autovalor real se .
© nenhum autovalor real se .
(a) dois autovalores reais distintos se
(b) um autovalor real se
© nenhum autovalor real se
Considere os vetores
, e
. Determine se o conjunto
é linearmente dependente ou independente.