Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que representa uma cônica e pede para identificarmos qual é, além de fazer um esboço e detalhar algumas características dela, como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se existir). A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas. Para resolver isso, vamos precisar entender as formas padrão das cônicas e como identificar cada uma a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação: . Nosso objetivo é identificar qual cônica representa essa equação. As principais cônicas são: círculo, elipse, parábola e hipérbola. A presença dos termos e com sinais diferentes sugere que estamos lidando com uma hipérbola.

Passo 3

Para confirmar que é uma hipérbola, vamos colocar a equação na forma padrão. A forma padrão da hipérbola com eixo horizontal é:
Vamos dividir toda a equação original por 441 para facilitar:
Simplificando:
Agora, está na forma padrão da hipérbola com centro na origem , e .

Passo 4

Agora que temos a equação na forma padrão, vamos identificar os elementos da hipérbola:
  • Centro:
  • A e B: ,
  • Vértices: Como a hipérbola é horizontal, os vértices estão a uma distância do centro no eixo :
  • Focos: A distância focal é dada por . Os focos estão em , ou seja, aproximadamente

Passo 5

Vamos agora determinar as assíntotas da hipérbola. Para uma hipérbola horizontal, as assíntotas são dadas por:
Substituindo e :
Estas são as retas que a hipérbola se aproxima à medida que tende ao infinito.

Passo 6

Por fim, vamos falar sobre a diretriz. A hipérbola não possui uma única diretriz como a parábola, mas sim duas diretrizes associadas a cada lado da hipérbola. A fórmula para a diretriz de uma hipérbola horizontal é:
Substituindo os valores e :

Resposta

A equação representa uma hipérbola.
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e aproximadamente e
  • Assíntotas: e
  • Diretrizes: e
O esboço à mão livre mostraria a hipérbola com seus vértices, focos, assíntotas e diretrizes claramente marcados.

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Uma partícula move-se sobre o eixo com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante a velocidade é de e no instante a velocidade é de , determine:
(i) A velocidade para todo .
(ii) A função de posição supondo que .
Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se
então as soluções da equação característica de são
Use esse resultado para mostrar que tem
(a) dois autovalores reais distintos se .
(b) um autovalor real se .
© nenhum autovalor real se .
Considere os vetores , e . Determine se o conjunto é linearmente dependente ou independente.