Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de transformações lineares! A questão pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear
definida por
. Aqui,
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagem, núcleo e base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a transformação
faz. Ela pega um polinômio
e retorna seu valor quando
, ou seja,
. Isso significa que
é um número real (o termo constante do polinômio).
Passo 3
A imagem de
é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Como
pega apenas o termo constante, a imagem consiste em todos os números reais que podem ser os termos constantes dos polinômios em
.
Passo 4
Como qualquer número real pode ser um termo constante, a imagem de
é o conjunto de todos os polinômios constantes. Em termos de espaço vetorial, isso é equivalente ao subespaço gerado pelo polinômio constante
.
Passo 5
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. Como todos os polinômios constantes são múltiplos de
, uma base para a imagem de
é simplesmente
.
Resposta
Uma base para a imagem de
é
.
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em linha reta desacelera a uma taxa constante de
. Qual é a distância percorrida pelo carro?
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
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com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante
a velocidade é de
e no instante
a velocidade é de
, determine:
(i) A velocidade para todo
.
(ii) A função de posição supondo que
.
(i) A velocidade
(ii) A função de posição
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