Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transformações lineares! A questão pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear definida por . Aqui, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagem, núcleo e base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a transformação faz. Ela pega um polinômio e retorna seu valor quando , ou seja, . Isso significa que é um número real (o termo constante do polinômio).

Passo 3

A imagem de é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Como pega apenas o termo constante, a imagem consiste em todos os números reais que podem ser os termos constantes dos polinômios em .

Passo 4

Como qualquer número real pode ser um termo constante, a imagem de é o conjunto de todos os polinômios constantes. Em termos de espaço vetorial, isso é equivalente ao subespaço gerado pelo polinômio constante .

Passo 5

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. Como todos os polinômios constantes são múltiplos de , uma base para a imagem de é simplesmente .

Resposta

Uma base para a imagem de é .

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dada por .
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