Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se
então as soluções da equação característica de são
Use esse resultado para mostrar que tem
(a) dois autovalores reais distintos se .
(b) um autovalor real se .
© nenhum autovalor real se .

Passo 1

Vamos olhar para a matriz dada e usar a equação característica para encontrar os autovalores. A gente vai precisar entender como a fórmula dos autovalores funciona e como o discriminante influencia o tipo de soluções que a gente encontra.

Passo 2

A equação característica da matriz é dada por:
Aqui, o que está dentro da raiz, , é chamado de discriminante. O discriminante nos diz se as soluções serão reais e distintas, reais e iguais, ou complexas.

Passo 3

(a) Dois autovalores reais distintos se .
Quando o discriminante é maior que zero, a raiz quadrada será um número real positivo. Isso significa que teremos duas soluções diferentes para , porque vamos somar e subtrair esse valor. Então, teremos dois autovalores reais e distintos.

Passo 4

(b) Um autovalor real se .
Se o discriminante for igual a zero, , a raiz quadrada também será zero. Nesse caso, as duas soluções para serão iguais, resultando em um único autovalor real (com multiplicidade duas).

Passo 5

© Nenhum autovalor real se .
Quando o discriminante é negativo, , a raiz quadrada envolve um número imaginário, já que não existe a raiz quadrada de um número negativo nos reais. Portanto, não há autovalores reais nesse caso; os autovalores serão complexos.

Resposta

(a) Dois autovalores reais distintos se .
(b) Um autovalor real se .
© Nenhum autovalor real se .

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