Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se
então as soluções da equação característica de
são
Use esse resultado para mostrar que
tem
(a) dois autovalores reais distintos se
.
(b) um autovalor real se
.
© nenhum autovalor real se
.
(a) dois autovalores reais distintos se
(b) um autovalor real se
© nenhum autovalor real se
Passo 1
Vamos olhar para a matriz
dada e usar a equação característica para encontrar os autovalores. A gente vai precisar entender como a fórmula dos autovalores funciona e como o discriminante influencia o tipo de soluções que a gente encontra.
Passo 2
A equação característica da matriz
é dada por:
Aqui, o que está dentro da raiz,
, é chamado de discriminante. O discriminante nos diz se as soluções serão reais e distintas, reais e iguais, ou complexas.
Passo 3
(a) Dois autovalores reais distintos se
.
Quando o discriminante
é maior que zero, a raiz quadrada será um número real positivo. Isso significa que teremos duas soluções diferentes para
, porque vamos somar e subtrair esse valor. Então, teremos dois autovalores reais e distintos.
Passo 4
(b) Um autovalor real se
.
Se o discriminante for igual a zero,
, a raiz quadrada também será zero. Nesse caso, as duas soluções para
serão iguais, resultando em um único autovalor real (com multiplicidade duas).
Passo 5
© Nenhum autovalor real se
.
Quando o discriminante é negativo,
, a raiz quadrada envolve um número imaginário, já que não existe a raiz quadrada de um número negativo nos reais. Portanto, não há autovalores reais nesse caso; os autovalores serão complexos.
Resposta
(a) Dois autovalores reais distintos se
.
(b) Um autovalor real se
.
© Nenhum autovalor real se
.
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, e
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