Uma partícula move-se sobre o eixo com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante a velocidade é de e no instante a velocidade é de , determine:
(i) A velocidade para todo .
(ii) A função de posição supondo que .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo e a aceleração dela é proporcional ao quadrado da velocidade. No início ( ), a velocidade é e no instante , a velocidade diminui para . Queremos descobrir duas coisas:
  1. Como a velocidade varia com o tempo.
  2. Qual é a posição da partícula ao longo do tempo, começando de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, lembrando que aceleração ( ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Como a aceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, podemos escrever:
Onde é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos separar as variáveis para conseguir integrar a equação:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e .
Quando , :
Substituindo de volta na equação:
Rearranjando para :

Passo 5

Usamos a segunda condição inicial: quando , :
Invertendo ambos os lados:

Passo 6

Substituindo de volta na equação da velocidade:
Então, a função da velocidade é:

Passo 7

Agora, para encontrar a posição , sabemos que:
Integrando:
Usando a condição inicial :
Então, a função da posição é:

Resposta

i) A velocidade em função do tempo é .
ii) A posição em função do tempo é .

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