Uma partícula move-se sobre o eixo O X com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante t=0 a velocidade é de 2 m / s e no instante t=1 a velocidade é de 1 m / s, determine:
(i) A velocidade v(t) para todo t >= 0.
(ii) A função de posição x(t) supondo que x(0)=0.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo e a aceleração dela é proporcional ao quadrado da velocidade. No início ( ), a velocidade é e no instante , a velocidade diminui para . Queremos descobrir duas coisas:
  1. Como a velocidade varia com o tempo.
  2. Qual é a posição da partícula ao longo do tempo, começando de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, lembrando que aceleração ( a = dvdt ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = k cdot v^2
Como a aceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, podemos escrever:
Onde é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos separar as variáveis para conseguir integrar a equação:
dvv^2 = k cdot dt
Integrando ambos os lados:
integral 1v^2 , dv = integral k , dt
O que resulta em:
-1v = k cdot t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar -12 = k cdot 0 + C implies C = -12 e -1v = k cdot t - 12 .
Quando 1v = -k cdot t + 12 , v = 112 - k cdot t :
Substituindo de volta na equação:
Rearranjando para :

Passo 5

Usamos a segunda condição inicial: quando 1 = 112 - k cdot 1 , 12 - k = 1 :
-k = 12
Invertendo ambos os lados:
k = -12

Passo 6

Substituindo v(t) = 112 - (-12) t = 112 + t2 = 21 + t de volta na equação da velocidade:
v(t) = 21 + t , m/s
Então, a função da velocidade é:

Passo 7

Agora, para encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral 21 + t , dt , sabemos que:
x(t) = 2 ln(1 + t) + C'
Integrando:
0 = 2 ln(1 + 0) + C' implies C' = 0
Usando a condição inicial x(t) = 2 ln(1 + t) , metros :
Então, a função da posição é:

Resposta

i) A velocidade em função do tempo é .
ii) A posição em função do tempo é .

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