Uma partícula move-se sobre o eixo
com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Supondo que no instante
a velocidade é de
e no instante
a velocidade é de
, determine:
(i) A velocidade
para todo
.
(ii) A função de posição
supondo que
.
(i) A velocidade
(ii) A função de posição
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo
e a aceleração dela é proporcional ao quadrado da velocidade. No início (
), a velocidade é
e no instante
, a velocidade diminui para
. Queremos descobrir duas coisas:
- Como a velocidade
varia com o tempo. - Qual é a posição
da partícula ao longo do tempo, começando de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, lembrando que aceleração (
) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Como a aceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, podemos escrever:
Onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos separar as variáveis para conseguir integrar a equação:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Quando
,
:
Substituindo
de volta na equação:
Rearranjando para
:
Passo 5
Usamos a segunda condição inicial: quando
,
:
Invertendo ambos os lados:
Passo 6
Substituindo
de volta na equação da velocidade:
Então, a função da velocidade é:
Passo 7
Agora, para encontrar a posição
, sabemos que:
Integrando:
Usando a condição inicial
:
Então, a função da posição é:
Resposta
i) A velocidade em função do tempo é
.
ii) A posição em função do tempo é
.