Considere os vetores , e . Determine se o conjunto é linearmente dependente ou independente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto de vetores , onde , e , é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
tem somente a solução , então os vetores são linearmente independentes. Se existir uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que satisfaz essa equação, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear dos vetores igual a zero:
Essas equações podem ser representadas em forma de matriz:
[
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Passo 4
Para determinar se o sistema tem apenas a solução trivial ( det(A) = 1 cdot (3 cdot 5 - 5 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 5 - 2 cdot 1) + 4 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 2) ) ou soluções não triviais, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem somente a solução trivial, o que indica que os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, existe uma solução não trivial, indicando dependência linear.
Como o determinante da matriz é diferente de zero (), isso significa que o único jeito de combinar os vetores , e para chegar ao vetor zero é com todos os coeficientes iguais a zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.