Considere os vetores u=(1,1,2), v=(2,3,1), e w=(4,5,5) em R^3. Determine se o conjunto S=u, v, w é linearmente dependente ou independente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto de vetores , onde , e , é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
c1 u + c2 v + c3 w = 0
tem somente a solução , então os vetores são linearmente independentes. Se existir uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que satisfaz essa equação, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear dos vetores igual a zero:
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 4 = 0 (1ª componente) ª
c1 cdot 1 + c2 cdot 3 + c3 cdot 5 = 0 (2ª componente) ª
c1 cdot 2 + c2 cdot 1 + c3 cdot 5 = 0 (3ª componente) ª
Essas equações podem ser representadas em forma de matriz:

[
1 & 2 & 4 1 & 3 & 5 2 & 1 & 5 c1 c2 c3 = 0 0 0


]

Passo 4

Para determinar se o sistema tem apenas a solução trivial ( det(A) = 1 cdot (3 cdot 5 - 5 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 5 - 2 cdot 1) + 4 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 2) ) ou soluções não triviais, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem somente a solução trivial, o que indica que os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, existe uma solução não trivial, indicando dependência linear.
Vamos calcular o determinante:
det(A) = 1 cdot (15 - 5) - 2 cdot (5 - 2) + 4 cdot (1 - 6)
Calculando passo a passo:
det(A) = 1 cdot 10 - 2 cdot 3 + 4 cdot (-5)
det(A) = 10 - 6 - 20
det(A) = -16

Resposta

Como o determinante da matriz é diferente de zero ( ), isso significa que o único jeito de combinar os vetores , e para chegar ao vetor zero é com todos os coeficientes iguais a zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

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