Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você mandou. A gente precisa identificar que tipo de cônica é representada pela equação
, desenhar um esboço à mão livre dessa figura e detalhar suas características como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz, se houver. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é:
Vamos rearrumar:
Agora, essa forma lembra bastante a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
Onde
é a distância focal, que nos ajuda a encontrar o foco e a diretriz da parábola.
Passo 3
Comparando as duas equações:
Vemos que
. Então, para encontrar
:
Isso significa que a distância focal
é 1,5 unidades.
Passo 4
Agora, vamos identificar os elementos da parábola:
- Vértice: A parábola está na forma
, então o vértice está na origem, ou seja, no ponto (0, 0). - Foco: Como a parábola está voltada para cima (parece uma “U” de cabeça para cima), o foco fica a uma distância
acima do vértice. Assim, o foco está em (0, ) = (0, 1,5). - Diretriz: A diretriz é uma linha horizontal que fica a uma distância
abaixo do vértice. Então, a diretriz é a reta . - Assíntotas: Para parábolas, não há assíntotas, pois elas não se aproximam de nenhuma linha conforme se estendem ao infinito.
Resposta
A equação
representa uma parábola com vértice na origem (0, 0), foco em (0, 1,5), distância focal igual a 1,5 unidades, diretriz na reta
e sem assíntotas.