Uma célula de formato esférico de 3 mu m^3 começa a crescer de modo homogêneo ao receber nutrientes através de sua superfície. Suponha que V(t) denota o volume da célula no instante t >= 0 e que sua taxa de crescimento seja o dobro da área de superfície em qualquer instante considerado. Determine o tempo necessário para que a célula dobre de volume.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma célula esférica com volume inicial de . A célula está crescendo de forma homogênea, ou seja, seu crescimento depende apenas da sua área de superfície. A taxa de crescimento do volume é o dobro da área da superfície. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a célula leva para dobrar seu volume, passando de para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas fórmulas importantes para uma esfera:
  • Volume:
  • Área da superfície:
Onde é o raio da esfera.

Passo 3

Sabemos que a taxa de crescimento do volume é dada por:
dVdt = 2A
Substituindo a fórmula da área da superfície:
dVdt = 2 times 4 pi r^2 = 8 pi r^2

Passo 4

Agora, vamos relacionar a derivada do volume em relação ao tempo com a derivada do volume em relação ao raio. Diferenciando a fórmula do volume em relação a dVdr = 4 pi r^2 :
dVdt = dVdr times drdt
Usando a regra da cadeia, temos:
8 pi r^2 = 4 pi r^2 times drdt
Substituindo as expressões que temos:

Passo 5

Resolvendo para drdt = 8 pi r^24 pi r^2 = 2 :
Então, a taxa de variação do raio em relação ao tempo é constante e igual a 2 .

Passo 6

Integrando a taxa de variação do raio:
drdt = 2
dr = 2 , dt
integral dr = integral 2 , dt
r(t) = r0 + 2t
Onde é o raio inicial da célula.

Passo 7

Vamos encontrar V0 = 43 pi r0^3 = 3 , mu m^3 usando o volume inicial:
r0^3 = 3 times 34 pi = 94 pi
r0 = ( 94 pi )^1/3

Passo 8

Queremos que o volume dobre, ou seja, V(t) = 43 pi ( r0 + 2t )^3 = 6 . Vamos expressar ( r0 + 2t )^3 = 6 times 34 pi = 184 pi = 92 pi em termos de r0 + 2t = ( 92 pi )^1/3 :

Passo 9

Substituindo ( 94 pi )^1/3 + 2t = ( 92 pi )^1/3 na equação acima:
2t = ( 92 pi )^1/3 - ( 94 pi )^1/3
t = 12 [ ( 92 pi )^1/3 - ( 94 pi )^1/3 ]

Passo 10

Calculando numericamente:
Primeiro, vamos calcular ( 92 pi )^1/3 approx ( 96.2832 )^1/3 approx (1.432)^1/3 approx 1.125 , mu m e ( 94 pi )^1/3 approx ( 912.5664 )^1/3 approx (0.716)^1/3 approx 0.896 , mu m :
t = 12 (1.125 - 0.896)
t = 12 (0.229)
Então:
t approx 0.1145 , s

Resposta

O tempo necessário para que a célula dobre de volume é aproximadamente segundos.

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