Uma célula de formato esférico de começa a crescer de modo homogêneo ao receber nutrientes através de sua superfície. Suponha que denota o volume da célula no instante e que sua taxa de crescimento seja o dobro da área de superfície em qualquer instante considerado. Determine o tempo necessário para que a célula dobre de volume.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma célula esférica com volume inicial de . A célula está crescendo de forma homogênea, ou seja, seu crescimento depende apenas da sua área de superfície. A taxa de crescimento do volume é o dobro da área da superfície. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a célula leva para dobrar seu volume, passando de para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas fórmulas importantes para uma esfera:
  • Volume:
  • Área da superfície:
Onde é o raio da esfera.

Passo 3

Sabemos que a taxa de crescimento do volume é dada por:
Substituindo a fórmula da área da superfície:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a derivada do volume em relação ao tempo com a derivada do volume em relação ao raio. Diferenciando a fórmula do volume em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo as expressões que temos:

Passo 5

Resolvendo para :
Então, a taxa de variação do raio em relação ao tempo é constante e igual a 2 .

Passo 6

Integrando a taxa de variação do raio:
Onde é o raio inicial da célula.

Passo 7

Vamos encontrar usando o volume inicial:

Passo 8

Queremos que o volume dobre, ou seja, . Vamos expressar em termos de :

Passo 9

Substituindo na equação acima:

Passo 10

Calculando numericamente:
Primeiro, vamos calcular e :
Então:

Resposta

O tempo necessário para que a célula dobre de volume é aproximadamente segundos.

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