Uma célula de formato esférico de começa a crescer de modo homogêneo ao receber nutrientes através de sua superfície. Suponha que denota o volume da célula no instante e que sua taxa de crescimento seja o dobro da área de superfície em qualquer instante considerado. Determine o tempo necessário para que a célula dobre de volume.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma célula esférica com volume inicial de . A célula está crescendo de forma homogênea, ou seja, seu crescimento depende apenas da sua área de superfície. A taxa de crescimento do volume é o dobro da área da superfície. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a célula leva para dobrar seu volume, passando de para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas fórmulas importantes para uma esfera:
Volume:
Área da superfície:
Onde é o raio da esfera.
Passo 3
Sabemos que a taxa de crescimento do volume é dada por:
Substituindo a fórmula da área da superfície:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a derivada do volume em relação ao tempo com a derivada do volume em relação ao raio. Diferenciando a fórmula do volume em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Resolvendo para :
Então, a taxa de variação do raio em relação ao tempo é constante e igual a 2 .
Passo 6
Integrando a taxa de variação do raio:
Onde é o raio inicial da célula.
Passo 7
Vamos encontrar usando o volume inicial:
Passo 8
Queremos que o volume dobre, ou seja, . Vamos expressar em termos de :
Passo 9
Substituindo na equação acima:
Passo 10
Calculando numericamente:
Primeiro, vamos calcular e :
Então:
Resposta
O tempo necessário para que a célula dobre de volume é aproximadamente segundos.