Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Determine os subespaços próprios não trivial invariantes sob a matriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, 2 & -1 -1 & 2 e 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 . O objetivo é encontrar os subespaços próprios não triviais que são invariantes para cada uma dessas matrizes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são subespaços próprios invariantes. Um subespaço próprio de uma matriz é um conjunto de vetores que, quando a matriz é aplicada a qualquer vetor desse conjunto, o resultado ainda está dentro do mesmo conjunto. Esses subespaços estão ligados aos autovalores e autovetores da matriz.
Passo 3
Vamos começar com a matriz . Para encontrar os subespaços próprios, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores.
Passo 4
Calculando os autovalores de det 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda = (2 - lambda)^2 - (-1)^2 = lambda^2 - 4lambda + 3 = 0 , resolvemos o determinante :
Resolvendo a equação quadrática, obtemos e .
Passo 5
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para (A - I)v = 1 & -1 -1 & 1 v1 v2 = 0 0 :
1 1
Isso nos dá (A - 3I)v = -1 & -1 -1 & -1 v1 v2 = 0 0 . Então, um autovetor é 1 -1 .
Para :
Isso nos dá . Então, um autovetor é .
Passo 6
Os autovetores correspondentes a cada autovalor geram subespaços próprios. Portanto, para 1 1 :
O subespaço gerado por 1 -1 é um subespaço próprio associado a .
O subespaço gerado por é um subespaço próprio associado a .
Passo 7
Agora, vamos para a matriz . O processo é semelhante: encontrar os autovalores e autovetores para determinar os subespaços próprios.
Passo 8
Calculando os autovalores de , resolvemos . Após calcular o determinante, encontramos os autovalores .