Sejam as matrizes A=[rr2 & -1 -1 & 2] e B=[lll2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]. Para cada matriz: Determine os subespaços próprios não trivial invariantes sob a matriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, 2 & -1 -1 & 2 e 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 . O objetivo é encontrar os subespaços próprios não triviais que são invariantes para cada uma dessas matrizes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são subespaços próprios invariantes. Um subespaço próprio de uma matriz é um conjunto de vetores que, quando a matriz é aplicada a qualquer vetor desse conjunto, o resultado ainda está dentro do mesmo conjunto. Esses subespaços estão ligados aos autovalores e autovetores da matriz.

Passo 3

Vamos começar com a matriz . Para encontrar os subespaços próprios, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores.

Passo 4

Calculando os autovalores de det 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda = (2 - lambda)^2 - (-1)^2 = lambda^2 - 4lambda + 3 = 0 , resolvemos o determinante :
Resolvendo a equação quadrática, obtemos e .

Passo 5

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para (A - I)v = 1 & -1 -1 & 1 v1 v2 = 0 0 :
1 1
Isso nos dá (A - 3I)v = -1 & -1 -1 & -1 v1 v2 = 0 0 . Então, um autovetor é 1 -1 .
Para :
Isso nos dá . Então, um autovetor é .

Passo 6

Os autovetores correspondentes a cada autovalor geram subespaços próprios. Portanto, para 1 1 :
  • O subespaço gerado por 1 -1 é um subespaço próprio associado a .
  • O subespaço gerado por é um subespaço próprio associado a .

Passo 7

Agora, vamos para a matriz . O processo é semelhante: encontrar os autovalores e autovetores para determinar os subespaços próprios.

Passo 8

Calculando os autovalores de , resolvemos . Após calcular o determinante, encontramos os autovalores .

Passo 9

Encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para 1 0 -1 :
Resolvendo 1 1 0 , encontramos um autovetor 1 1 1 .
Para :
Resolvendo , encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo , encontramos um autovetor .

Passo 10

Cada autovetor gera um subespaço próprio. Portanto, para 1 0 -1 :
  • O subespaço gerado por 1 1 0 é associado a 1 1 1 .
  • O subespaço gerado por é associado a .
  • O subespaço gerado por é associado a .

Resposta

Para a matriz 1 1 , os subespaços próprios não triviais invariantes são:
  • 1 -1 associado a 1 0 -1 .
  • 1 1 0 associado a 1 1 1 .
Para a matriz , os subespaços próprios não triviais invariantes são:
  • associado a .
  • associado a .
  • associado a .

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