Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). 3 x^2-14 y=0

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo é descobrir qual cônica é essa, desenhar um esboço dela e identificar pontos importantes como focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz, se existir. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e algumas fórmulas básicas das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação mais fácil de trabalhar, colocando-a na forma padrão de uma cônica. A equação dada é:
3x^2 - 14y = 0
Vamos resolver para 3x^2 = 14y:
y = 314x^2
Dividindo ambos os lados por 14:

Passo 3

Agora que a equação está na forma , podemos identificar qual cônica é essa. Essa é a equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo, dependendo do sinal de . No nosso caso, , que é positivo, então a parábola abre para cima.

Passo 4

Para desenhar o esboço à mão livre, vamos identificar alguns pontos chave:
  • Vértice: Para uma parábola na forma , o vértice está na origem .
  • Foco: A distância do vértice ao foco é dada por .
  • Diretriz: A equação da diretriz é .
Vamos calcular o foco e a diretriz.

Passo 5

Calculando a distância focal f = 14a = 14 times 314 = 11214 = 1412 = 76:
Então, o foco está a unidades acima do vértice, ou seja, no ponto .

Passo 6

A diretriz é uma reta horizontal localizada a y = -f = -76 unidades abaixo do vértice. Então:
Essa é a equação da diretriz.

Passo 7

Como essa é uma parábola que abre para cima, não temos assíntotas, pois as assíntotas são características de hipérboles.

Resposta

A equação representa uma parábola que abre para cima. O vértice está na origem , o foco está no ponto , a distância focal é unidades, e a diretriz é a reta . Não há assíntotas para essa parábola.

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