Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo é descobrir qual cônica é essa, desenhar um esboço dela e identificar pontos importantes como focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz, se existir. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e algumas fórmulas básicas das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação mais fácil de trabalhar, colocando-a na forma padrão de uma cônica. A equação dada é:
Vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por 14:
Passo 3
Agora que a equação está na forma , podemos identificar qual cônica é essa. Essa é a equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo, dependendo do sinal de . No nosso caso, , que é positivo, então a parábola abre para cima.
Passo 4
Para desenhar o esboço à mão livre, vamos identificar alguns pontos chave:
Vértice: Para uma parábola na forma , o vértice está na origem .
Foco: A distância do vértice ao foco é dada por .
Diretriz: A equação da diretriz é .
Vamos calcular o foco e a diretriz.
Passo 5
Calculando a distância focal :
Então, o foco está a unidades acima do vértice, ou seja, no ponto .
Passo 6
A diretriz é uma reta horizontal localizada a unidades abaixo do vértice. Então:
Essa é a equação da diretriz.
Passo 7
Como essa é uma parábola que abre para cima, não temos assíntotas, pois as assíntotas são características de hipérboles.
Resposta
A equação representa uma parábola que abre para cima. O vértice está na origem , o foco está no ponto , a distância focal é unidades, e a diretriz é a reta . Não há assíntotas para essa parábola.