Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma equação que representa uma cônica:
. Nosso objetivo é descobrir qual cônica é essa, desenhar um esboço dela e identificar pontos importantes como focos, vértices, distância focal, assíntotas e a diretriz, se existir. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e algumas fórmulas básicas das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação mais fácil de trabalhar, colocando-a na forma padrão de uma cônica. A equação dada é:
Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por 14:
Passo 3
Agora que a equação está na forma
, podemos identificar qual cônica é essa. Essa é a equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo, dependendo do sinal de
. No nosso caso,
, que é positivo, então a parábola abre para cima.
Passo 4
Para desenhar o esboço à mão livre, vamos identificar alguns pontos chave:
- Vértice: Para uma parábola na forma
, o vértice está na origem . - Foco: A distância do vértice ao foco é dada por
. - Diretriz: A equação da diretriz é
.
Vamos calcular o foco e a diretriz.
Passo 5
Calculando a distância focal
:
Então, o foco está a
unidades acima do vértice, ou seja, no ponto
.
Passo 6
A diretriz é uma reta horizontal localizada a
unidades abaixo do vértice. Então:
Essa é a equação da diretriz.
Passo 7
Como essa é uma parábola que abre para cima, não temos assíntotas, pois as assíntotas são características de hipérboles.
Resposta
A equação
representa uma parábola que abre para cima. O vértice está na origem
, o foco está no ponto
, a distância focal é
unidades, e a diretriz é a reta
. Não há assíntotas para essa parábola.