Suponha que um cadáver foi encontrado à meia-noite em uma casa e, neste momento, sua temperatura corporal está em 30^circ C.
Meia hora depois, a temperatura corporal está em 25^circ C. Supondo que a temperatura normal de uma pessoa é 36,5^circ C e que a temperatura do ar na casa é constante e igual a 20^circ C, determine o momento da morte. (Para tal suponha que a temperatura do corpo varia proporcionalmente à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente; esta é a Lei de resfriamento de Newton).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. A gente sabe que a temperatura do corpo humano normalmente é de 36,5^circ C e que o ambiente está a 20^circ C. Precisamos descobrir quando a pessoa morreu, ou seja, há quanto tempo o corpo começou a esfriar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do corpo ( dTdt) é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo ( T) e a temperatura do ambiente ( Ta). A fórmula é:
dTdt = -k (T - Ta)
Onde k é uma constante positiva que depende das condições do ambiente e do corpo.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial nos dá a temperatura do corpo em função do tempo:
T(t) = Ta + (T0 - Ta) e^-kt
Aqui, T0 é a temperatura inicial do corpo no momento da morte.

Passo 4

Vamos definir nossos dados:
  • No momento da morte ( t = 0), a temperatura era T0 = 36,5^circ C.
  • À meia-noite ( t = tm), a temperatura foi encontrada em 30^circ C.
  • Meia hora depois ( t = tm + 0,5 horas), a temperatura era 25^circ C.
  • Temperatura do ambiente Ta = 20^circ C.

Passo 5

Vamos usar a fórmula da Lei de Resfriamento para os dois momentos:
  1. À meia-noite:
30 = 20 + (36,5 - 20) e^-k tm
Simplificando:
10 = 16,5 e^-k tm
1016,5 = e^-k tm
ln(1016,5) = -k tm
k tm = -ln(1016,5)
  1. Meia hora depois:
25 = 20 + (36,5 - 20) e^-k (tm + 0,5)
Simplificando:
5 = 16,5 e^-k tm e^-0,5k
516,5 = e^-k tm e^-0,5k
ln(516,5) = -k tm - 0,5k

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. k tm
  2. ln(516,5) = ln(1016,5) - 0,5k
Substituindo k da primeira equação na segunda:
ln(516,5) - ln(1016,5) = -0,5k
Rearranjando para encontrar ln(516,5 div 1016,5) = -0,5k :
ln(510) = -0,5k
ln(0,5) = -0,5k
k = -2 ln(0,5)
k = 2 ln(2)
k approx 2 times 0,6931 = 1,3862 , h^-1

Passo 7

Agora que temos o valor de k, vamos encontrar tm usando a primeira equação:
k tm = -ln(1016,5)
tm = -ln(1016,5)k
tm = -ln(0,6061)1,3862
tm = 0,51,3862 approx 0,36 , horas
tm approx 21,6 , minutos

Resposta

O momento da morte ocorreu aproximadamente 21,6 minutos antes da meia-noite.

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