Suponha que um cadáver foi encontrado à meia-noite em uma casa e, neste momento, sua temperatura corporal está em .
Meia hora depois, a temperatura corporal está em . Supondo que a temperatura normal de uma pessoa é e que a temperatura do ar na casa é constante e igual a , determine o momento da morte. (Para tal suponha que a temperatura do corpo varia proporcionalmente à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente; esta é a Lei de resfriamento de Newton).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. A gente sabe que a temperatura do corpo humano normalmente é de e que o ambiente está a . Precisamos descobrir quando a pessoa morreu, ou seja, há quanto tempo o corpo começou a esfriar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do corpo () é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo () e a temperatura do ambiente (). A fórmula é:
Onde é uma constante positiva que depende das condições do ambiente e do corpo.
Passo 3
A solução dessa equação diferencial nos dá a temperatura do corpo em função do tempo:
Aqui, é a temperatura inicial do corpo no momento da morte.
Passo 4
Vamos definir nossos dados:
No momento da morte (), a temperatura era .
À meia-noite (), a temperatura foi encontrada em .
Meia hora depois ( horas), a temperatura era .
Temperatura do ambiente .
Passo 5
Vamos usar a fórmula da Lei de Resfriamento para os dois momentos:
À meia-noite:
Simplificando:
Meia hora depois:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Rearranjando para encontrar :
Passo 7
Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a primeira equação:
Resposta
O momento da morte ocorreu aproximadamente 21,6 minutos antes da meia-noite.