Suponha que um cadáver foi encontrado à meia-noite em uma casa e, neste momento, sua temperatura corporal está em .
Meia hora depois, a temperatura corporal está em . Supondo que a temperatura normal de uma pessoa é e que a temperatura do ar na casa é constante e igual a , determine o momento da morte. (Para tal suponha que a temperatura do corpo varia proporcionalmente à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente; esta é a Lei de resfriamento de Newton).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. A gente sabe que a temperatura do corpo humano normalmente é de e que o ambiente está a . Precisamos descobrir quando a pessoa morreu, ou seja, há quanto tempo o corpo começou a esfriar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do corpo ( ) é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo ( ) e a temperatura do ambiente ( ). A fórmula é:
Onde é uma constante positiva que depende das condições do ambiente e do corpo.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial nos dá a temperatura do corpo em função do tempo:
Aqui, é a temperatura inicial do corpo no momento da morte.

Passo 4

Vamos definir nossos dados:
  • No momento da morte ( ), a temperatura era .
  • À meia-noite ( ), a temperatura foi encontrada em .
  • Meia hora depois ( horas), a temperatura era .
  • Temperatura do ambiente .

Passo 5

Vamos usar a fórmula da Lei de Resfriamento para os dois momentos:
  1. À meia-noite:
Simplificando:
  1. Meia hora depois:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Rearranjando para encontrar :

Passo 7

Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a primeira equação:

Resposta

O momento da morte ocorreu aproximadamente 21,6 minutos antes da meia-noite.

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