Suponha que um cadáver foi encontrado à meia-noite em uma casa e, neste momento, sua temperatura corporal está em
.
Meia hora depois, a temperatura corporal está em
. Supondo que a temperatura normal de uma pessoa é
e que a temperatura do ar na casa é constante e igual a
, determine o momento da morte. (Para tal suponha que a temperatura do corpo varia proporcionalmente à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente; esta é a Lei de resfriamento de Newton).
Meia hora depois, a temperatura corporal está em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante. A gente sabe que a temperatura do corpo humano normalmente é de
e que o ambiente está a
. Precisamos descobrir quando a pessoa morreu, ou seja, há quanto tempo o corpo começou a esfriar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do corpo (
) é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo (
) e a temperatura do ambiente (
). A fórmula é:
Onde
é uma constante positiva que depende das condições do ambiente e do corpo.
Passo 3
A solução dessa equação diferencial nos dá a temperatura do corpo em função do tempo:
Aqui,
é a temperatura inicial do corpo no momento da morte.
Passo 4
Vamos definir nossos dados:
- No momento da morte (
), a temperatura era . - À meia-noite (
), a temperatura foi encontrada em . - Meia hora depois (
horas), a temperatura era . - Temperatura do ambiente
.
Passo 5
Vamos usar a fórmula da Lei de Resfriamento para os dois momentos:
- À meia-noite:
Simplificando:
- Meia hora depois:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar
usando a primeira equação:
Resposta
O momento da morte ocorreu aproximadamente 21,6 minutos antes da meia-noite.