Considere as matrizes
no espaço vetorial das matrizes reais . Prove que o conjunto gera o subespaço de todas as matrizes simétricas , ou seja, demonstre que
é exatamente o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta três matrizes , e , que são matrizes com números reais. A ideia é provar que, combinando essas três matrizes de várias maneiras (usando multiplicação por constantes e soma), conseguimos gerar todas as matrizes simétricas . Então, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e span para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é dita simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, para uma matriz , ela é simétrica se . Assim, todas as matrizes simétricas têm a forma geral:
onde , e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos ver como podemos escrever uma matriz simétrica genérica como combinação linear das matrizes , e . Vamos considerar:
Onde , e são números reais que precisamos determinar. Substituindo as matrizes dadas:
Vamos realizar a soma:
Perceba que a matriz resultante tem a mesma forma que a matriz simétrica genérica que mencionamos no Passo 2. Isso significa que, para quaisquer valores de , e , podemos escolher , e para obter essa matriz através da combinação linear das matrizes , e .

Resposta

Portanto, qualquer matriz simétrica pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes , e . Assim, o conjunto gera todo o subespaço das matrizes simétricas de ordem 2.

Exercícios relacionados

Uma célula de formato esférico de começa a crescer de modo homogêneo ao receber nutrientes através de sua superfície. Suponha que denota o volume da célula no instante e que sua taxa de crescimento seja o dobro da área de superfície em qualquer instante considerado. Determine o tempo necessário para que a célula dobre de volume.
Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Determine os subespaços próprios não trivial invariantes sob a matriz.
Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule os autovalores.
Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).