Considere as matrizes
M1=(ll 1 & 0 0 & 0 ), M2=(ll 0 & 0 0 & 1 ), M3=(ll 0 & 1 1 & 0 )
no espaço vetorial M2 times 2(R) das matrizes reais 2 times 2. Prove que o conjunto M1, M2, M3 gera o subespaço de todas as matrizes simétricas 2 times 2, ou seja, demonstre que
spanM1, M2, M3
é exatamente o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta três matrizes M1, M2 e M3, que são matrizes 2 times 2 com números reais. A ideia é provar que, combinando essas três matrizes de várias maneiras (usando multiplicação por constantes e soma), conseguimos gerar todas as matrizes simétricas 2 times 2. Então, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e span para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é dita simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, para uma matriz A = a & b c & d , ela é simétrica se b = c. Assim, todas as matrizes simétricas 2 times 2 têm a forma geral:
a & b b & d
onde a, b e d são números reais.

Passo 3

Agora, vamos ver como podemos escrever uma matriz simétrica genérica como combinação linear das matrizes M1, M2 e M3. Vamos considerar:
M = x cdot M1 + y cdot M2 + z cdot M3
Onde x, y e z são números reais que precisamos determinar. Substituindo as matrizes dadas:
M = x cdot 1 & 0 0 & 0 + y cdot 0 & 0 0 & 1 + z cdot 0 & 1 1 & 0
Vamos realizar a soma:
M = x & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & y + 0 & z z & 0 = x & z z & y
Perceba que a matriz resultante x & z z & y tem a mesma forma que a matriz simétrica genérica que mencionamos no Passo 2. Isso significa que, para quaisquer valores de a, b e d, podemos escolher x = a, z = b e y = d para obter essa matriz através da combinação linear das matrizes M1, M2 e M3.

Resposta

Portanto, qualquer matriz simétrica 2 times 2 pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes M1, M2 e M3. Assim, o conjunto M1, M2, M3 gera todo o subespaço das matrizes simétricas de ordem 2.

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