Considere as matrizes
no espaço vetorial
das matrizes reais
. Prove que o conjunto
gera o subespaço de todas as matrizes simétricas
, ou seja, demonstre que
é exatamente o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta três matrizes
,
e
, que são matrizes
com números reais. A ideia é provar que, combinando essas três matrizes de várias maneiras (usando multiplicação por constantes e soma), conseguimos gerar todas as matrizes simétricas
. Então, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e span para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é dita simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, para uma matriz
, ela é simétrica se
. Assim, todas as matrizes simétricas
têm a forma geral:
onde
,
e
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos ver como podemos escrever uma matriz simétrica genérica como combinação linear das matrizes
,
e
. Vamos considerar:
Onde
,
e
são números reais que precisamos determinar. Substituindo as matrizes dadas:
Vamos realizar a soma:
Perceba que a matriz resultante
tem a mesma forma que a matriz simétrica genérica que mencionamos no Passo 2. Isso significa que, para quaisquer valores de
,
e
, podemos escolher
,
e
para obter essa matriz através da combinação linear das matrizes
,
e
.
Resposta
Portanto, qualquer matriz simétrica
pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes
,
e
. Assim, o conjunto
gera todo o subespaço das matrizes simétricas de ordem 2.