Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule os autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos aqui são os autovalores das matrizes e . Autovalores são valores que mostram como uma matriz “escala” um vetor sem mudar sua direção. Para encontrar isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente o cálculo do polinômio característico das matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a matriz :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos descobrir.
Passo 3
Primeiro, vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos para a matriz :
O processo é similar, mas aqui o cálculo do determinante é um pouco mais trabalhoso. Vamos montar :
Passo 6
Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Vamos simplificar passo a passo:
Passo 7
Agora, a equação característica é:
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testamos valores inteiros que são divisores de 5.