Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule os autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos aqui são os autovalores das matrizes e . Autovalores são valores que mostram como uma matriz “escala” um vetor sem mudar sua direção. Para encontrar isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente o cálculo do polinômio característico das matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a matriz :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos descobrir.

Passo 3

Primeiro, vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos para a matriz :
O processo é similar, mas aqui o cálculo do determinante é um pouco mais trabalhoso. Vamos montar :

Passo 6

Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Vamos simplificar passo a passo:

Passo 7

Agora, a equação característica é:
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testamos valores inteiros que são divisores de 5.
Testando :
Então, é uma raiz. Dividindo o polinômio por :
Agora, resolvemos :
Então, e .

Resposta

Os autovalores são:
  • Para a matriz : e .
  • Para a matriz : , e .

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