Sejam as matrizes A=[rr2 & -1 -1 & 2] e B=[lll2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]. Para cada matriz: Calcule os autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos aqui são os autovalores das matrizes e . Autovalores são valores que mostram como uma matriz “escala” um vetor sem mudar sua direção. Para encontrar isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente o cálculo do polinômio característico das matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A = 2 & -1 -1 & 2 :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos descobrir.

Passo 3

Primeiro, vamos montar a matriz A - lambda I = 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= (2 - lambda)^2 - 1
= 4 - 4lambda + lambda^2 - 1
= lambda^2 - 4lambda + 3

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 para encontrar os valores de = 4 pm raiz16 - 122 :
= 4 pm raiz42
= 4 pm 22
lambda1 = 4 + 22 = 3
lambda2 = 4 - 22 = 1
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos para a matriz B = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 :
B - lambda I = 2 - lambda & 1 & 1 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda
O processo é similar, mas aqui o cálculo do determinante é um pouco mais trabalhoso. Vamos montar :

Passo 6

Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
det(B - lambda I) = (2 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 1[2(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 1[2 cdot 1 - (3 - lambda) cdot 1]
Vamos simplificar passo a passo:
= (2 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] - 1[2(2 - lambda) - 2] + 1[2 - (3 - lambda)]
= (2 - lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2] - [4 - 2lambda - 2] + [2 - 3 + lambda]
= (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) - (2 - 2lambda) + (lambda - 1)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) - 2 + 2lambda + lambda - 1
= (2)(lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) - 3 + 3lambda
= 2lambda^2 - 10lambda + 8 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda - 3 + 3lambda
= -lambda^3 + 7lambda^2 - 11lambda + 5

Passo 7

Agora, a equação característica é:
-lambda^3 + 7lambda^2 - 11lambda + 5 = 0
Podemos multiplicar por -1 para facilitar:
lambda^3 - 7lambda^2 + 11lambda - 5 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testamos valores inteiros que são divisores de 5.
Testando 1 - 7 + 11 - 5 = 0 :
lambda^3 - 7lambda^2 + 11lambda - 5 = (lambda - 1)(lambda^2 - 6lambda + 5)
Então, lambda = 6 pm raiz36 - 202 é uma raiz. Dividindo o polinômio por = 6 pm raiz162 :
= 6 pm 42
Agora, resolvemos :
Então, e .

Resposta

Os autovalores são:
  • Para a matriz : e .
  • Para a matriz : , e .

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