Um tanque cilíndrico de raio
e altura
está cheio de água. Suponha que apareça um pequeno orifício de raio
na base do tanque e que a água escape com velocidade
, onde
é a altura da água no tanque no instante
e
é a aceleração gravitacional. Determine o tempo necessário para que o tanque se esvazie por completo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água com raio de
e altura de
. Na base desse tanque, aparece um pequeno orifício com raio de
por onde a água começa a escapar. A velocidade com que a água sai do orifício depende da altura da água no tanque no instante
e é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o tanque esvaziar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática e cálculo diferencial, especificamente uma equação que relaciona a taxa de variação da altura da água com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a água escorre pelo orifício. A velocidade de saída da água é dada por
. Isso vem da Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade de saída de um fluido sob a ação da gravidade através de um orifício é proporcional à raiz quadrada da altura do fluido acima do orifício.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do orifício pelo qual a água está saindo. A área
de um círculo é dada por:
Onde
. Então,
Passo 4
A taxa de saída do volume de água (
) é a área do orifício multiplicada pela velocidade de saída:
Como a água está saindo, essa taxa é negativa:
Passo 5
Como o tanque é cilíndrico, o volume de água
em qualquer instante é dado por:
Onde
. Então,
Passo 6
Vamos derivar
em relação ao tempo para relacionar com a taxa de saída:
Igualando às duas expressões para
:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos separar as variáveis
e
para preparar a integração:
Integrando ambos os lados:
Passo 9
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial: quando
,
:
Então, a equação fica:
Passo 10
Queremos encontrar o tempo
quando o tanque está vazio, ou seja, quando
:
Resolvendo para
:
Passo 11
Substituindo
:
Convertendo para horas:
Resposta
O tempo necessário para que o tanque se esvazie completamente é aproximadamente 15.721 horas.