Um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 10 m está cheio de água. Suponha que apareça um pequeno orifício de raio 0,01 m na base do tanque e que a água escape com velocidade v(t)=raiz2 g h(t) m / s, onde h(t) é a altura da água no tanque no instante t >= 0 e g=10 m / s^2 é a aceleração gravitacional. Determine o tempo necessário para que o tanque se esvazie por completo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água com raio de e altura de . Na base desse tanque, aparece um pequeno orifício com raio de por onde a água começa a escapar. A velocidade com que a água sai do orifício depende da altura da água no tanque no instante e é dada por , onde ² é a aceleração da gravidade. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o tanque esvaziar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática e cálculo diferencial, especificamente uma equação que relaciona a taxa de variação da altura da água com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a água escorre pelo orifício. A velocidade de saída da água é dada por . Isso vem da Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade de saída de um fluido sob a ação da gravidade através de um orifício é proporcional à raiz quadrada da altura do fluido acima do orifício.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do orifício pelo qual a água está saindo. A área Aorifício = pi r^2 í de um círculo é dada por:
Aorifício = pi (0,01)^2 = pi times 0,0001 = 0,0001pi, m² í
Onde . Então,
í²

Passo 4

A taxa de saída do volume de água ( dVdt = Aorifício times v(t) = 0,0001pi times raiz2gh(t) ) é a área do orifício multiplicada pela velocidade de saída:
dVdt = -0,0001pi raiz2gh(t) í
Como a água está saindo, essa taxa é negativa:

Passo 5

Como o tanque é cilíndrico, o volume de água V(t) = pi rtanque^2 h(t) em qualquer instante é dado por:
V(t) = pi (2)^2 h(t) = 4pi h(t)
Onde . Então,

Passo 6

Vamos derivar dVdt = 4pi dh(t)dt em relação ao tempo para relacionar com a taxa de saída:
4pi dh(t)dt = -0,0001pi raiz2gh(t)
Igualando às duas expressões para :

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 4 dh(t)dt = -0,0001 raiz2gh(t) :
dh(t)dt = -0,00014 raiz2gh(t) = -0,000025 raiz2gh(t)
Isolando :

Passo 8

Agora, vamos separar as variáveis dh(t)raizh(t) = -0,000025 raiz2g , dt e integral dhraizh = -0,000025 raiz2g integral dt para preparar a integração:
Integrando ambos os lados:

Passo 9

Calculando as integrais:
2raizh = -0,000025 raiz2g , t + C
Onde 2raiz10 = C Rightarrow C = 2raiz10 é a constante de integração. Para encontrar 2raizh = -0,000025 raiz2g , t + 2raiz10 , usamos a condição inicial: quando , :
Então, a equação fica:

Passo 10

Queremos encontrar o tempo 0 = -0,000025 raiz2g , T + 2raiz10 quando o tanque está vazio, ou seja, quando 0,000025 raiz2g , T = 2raiz10 :
T = 2raiz100,000025 raiz2g
Resolvendo para :

Passo 11

Substituindo T = 2raiz100,000025 raiz2 times 10 = 2raiz100,000025 raiz20 = 2raiz100,000025 times 4,4721 ²:
T approx 2 times 3,16230,000025 times 4,4721 = 6,32460,0001118 approx 56.595.000, segundos
T approx 56.595.0003600 approx 15.721, horas
Convertendo para horas:

Resposta

O tempo necessário para que o tanque se esvazie completamente é aproximadamente 15.721 horas.

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