Um tanque cilíndrico de raio e altura está cheio de água. Suponha que apareça um pequeno orifício de raio na base do tanque e que a água escape com velocidade , onde é a altura da água no tanque no instante e é a aceleração gravitacional. Determine o tempo necessário para que o tanque se esvazie por completo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água com raio de e altura de . Na base desse tanque, aparece um pequeno orifício com raio de por onde a água começa a escapar. A velocidade com que a água sai do orifício depende da altura da água no tanque no instante e é dada por , onde ² é a aceleração da gravidade. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o tanque esvaziar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática e cálculo diferencial, especificamente uma equação que relaciona a taxa de variação da altura da água com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a água escorre pelo orifício. A velocidade de saída da água é dada por . Isso vem da Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade de saída de um fluido sob a ação da gravidade através de um orifício é proporcional à raiz quadrada da altura do fluido acima do orifício.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do orifício pelo qual a água está saindo. A área í de um círculo é dada por:
í
Onde . Então,
í²

Passo 4

A taxa de saída do volume de água ( ) é a área do orifício multiplicada pela velocidade de saída:
í
Como a água está saindo, essa taxa é negativa:

Passo 5

Como o tanque é cilíndrico, o volume de água em qualquer instante é dado por:
Onde . Então,

Passo 6

Vamos derivar em relação ao tempo para relacionar com a taxa de saída:
Igualando às duas expressões para :

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 8

Agora, vamos separar as variáveis e para preparar a integração:
Integrando ambos os lados:

Passo 9

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial: quando , :
Então, a equação fica:

Passo 10

Queremos encontrar o tempo quando o tanque está vazio, ou seja, quando :
Resolvendo para :

Passo 11

Substituindo ²:
Convertendo para horas:

Resposta

O tempo necessário para que o tanque se esvazie completamente é aproximadamente 15.721 horas.

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