Para cada equação determine d yd x.
a) (x-1)^2+y^2=3

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para determinar d yd x para a equação (x-1)^2+y^2=3. O conteúdo que estamos usando aqui é sobre derivadas implícitas, que é uma técnica legal para encontrar a derivada de y em relação a x quando não temos y isolado. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembra do que é uma derivada? É basicamente a taxa de variação de uma função. Como a nossa equação está em termos de y, que é uma função de x, precisamos usar a regra da cadeia para derivar y.
Então, derivando o lado esquerdo:
  1. Para (x-1)^2, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos (u)^n, a derivada é n cdot u^n-1 cdot dudx. Aqui, u = (x - 1) e n = 2.
    Assim, a derivada será:
    ddx[(x-1)^2] = 2(x-1) cdot ddx(x-1) = 2(x-1) cdot 1 = 2(x-1)
  2. Agora vamos para y^2. Usando a regra da cadeia, a derivada será:
    ddx[y^2] = 2y cdot dydx
Levando em conta que o lado direito da equação, que é 3, tem uma derivada de 0 (porque é uma constante), a derivada total da equação fica assim:
2(x-1) + 2y cdot dydx = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver para dydx. Vamos reorganizar a equação que obtemos:
2y cdot dydx = -2(x-1)
Para deixar dydx sozinho, vamos dividir os dois lados por 2y:
dydx = -2(x-1)2y
Como o 2 no numerador e o 2 no denominador se cancelam, fica:
dydx = -(x-1)y

Resposta

Então, a derivada dydx para a equação (x-1)^2+y^2=3 é -(x-1)y.

Exercícios relacionados

(f) Sejam V e F como no item (f). Seja gamma(t)=(x(t), y(t)), t in I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, gamma^prime(t)= F(gamma(t)). Prove que g(t)=V(gamma(t)) é decrescente em I. Conclua que se gamma(t0), t0 in I, for um ponto da circunferência x^2+y^2=r^2, então, para todo t >= t0, t in I, gamma(t) pertencerá ao círculo x^2+y^2 <= r^2. Interprete geometricamente.
Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^Sen x.
Para cada equação determine d yd x.
(x-2)^3+x y=y^3.
Para cada equação determine d yd x.
e^2 x=sen(x+3 y).