Para cada equação determine
.
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para determinar
para a equação
. O conteúdo que estamos usando aqui é sobre derivadas implícitas, que é uma técnica legal para encontrar a derivada de
em relação a
quando não temos
isolado. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembra do que é uma derivada? É basicamente a taxa de variação de uma função. Como a nossa equação está em termos de
, que é uma função de
, precisamos usar a regra da cadeia para derivar
.
Então, derivando o lado esquerdo:
-
Para
, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos , a derivada é . Aqui, e . Assim, a derivada será: -
Agora vamos para
. Usando a regra da cadeia, a derivada será:
Levando em conta que o lado direito da equação, que é 3, tem uma derivada de 0 (porque é uma constante), a derivada total da equação fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos resolver para
. Vamos reorganizar a equação que obtemos:
Para deixar
sozinho, vamos dividir os dois lados por
:
Como o
no numerador e o
no denominador se cancelam, fica:
Resposta
Então, a derivada
para a equação
é
.
Exercícios relacionados
(f) Sejam
e
como no item (f). Seja
, uma curva tal que, para todo
no intervalo
. Prove que
é decrescente em
. Conclua que se
, for um ponto da circunferência
, então, para todo
pertencerá ao círculo
. Interprete geometricamente.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Para cada equação determine
.
.
Para cada equação determine
.
.