Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja, queremos calcular
. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada logarítmica, que é uma técnica muito útil quando lidamos com funções que têm uma base e um expoente que também variam. Para isso, vamos precisar da propriedade dos logaritmos para facilitar a derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural (que é o que usamos geralmente em cálculo) em ambos os lados da equação. Então, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos transformar a parte direita da equação:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Aqui, usaremos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo e a regra do produto no lado direito. Então, a derivada da esquerda é:
E para a direita, usando a regra do produto, teremos:
Sabemos que
e
. Portanto, substituindo, temos:
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para isolarmos
:
Já sabemos que
. Substituindo isso na equação, temos:
Esse é o resultado da derivada. Caso você queira simplificar ainda mais a expressão, pode deixar assim mesmo ou trabalhar mais nela.
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida.
(b) ;
(b)
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
(f) Sejam
e
como no item (f). Seja
, uma curva tal que, para todo
no intervalo
. Prove que
é decrescente em
. Conclua que se
, for um ponto da circunferência
, então, para todo
pertencerá ao círculo
. Interprete geometricamente.
Para cada equação determine
.
a)
a)