Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^Sen x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y = x^Sen x e precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, queremos calcular d yd x. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada logarítmica, que é uma técnica muito útil quando lidamos com funções que têm uma base e um expoente que também variam. Para isso, vamos precisar da propriedade dos logaritmos para facilitar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural (que é o que usamos geralmente em cálculo) em ambos os lados da equação. Então, temos:
ln(y) = ln(x^Sen x)
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos transformar a parte direita da equação:
ln(y) = Sen(x) cdot ln(x)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Aqui, usaremos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo e a regra do produto no lado direito. Então, a derivada da esquerda é:
1y dydx
E para a direita, usando a regra do produto, teremos:
ddx(Sen(x) cdot ln(x)) = Sen(x) cdot ddx(ln(x)) + ln(x) cdot ddx(Sen(x))
Sabemos que ddx(ln(x)) = 1x e ddx(Sen(x)) = Cos(x). Portanto, substituindo, temos:
1y dydx = Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x)

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por y para isolarmos dydx:
dydx = y ( Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x) )
Já sabemos que y = x^Sen x. Substituindo isso na equação, temos:
dydx = x^Sen x ( Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x) )
Esse é o resultado da derivada. Caso você queira simplificar ainda mais a expressão, pode deixar assim mesmo ou trabalhar mais nela.

Resposta

A derivada de y = x^Sen x em relação a x é:
dydx = x^Sen x ( Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x) )

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Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida.
(b) x^2 y^prime+x(x+2) y=e^x;
Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
f(x)=(2 x+1)^ln x.
(f) Sejam V e F como no item (f). Seja gamma(t)=(x(t), y(t)), t in I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, gamma^prime(t)= F(gamma(t)). Prove que g(t)=V(gamma(t)) é decrescente em I. Conclua que se gamma(t0), t0 in I, for um ponto da circunferência x^2+y^2=r^2, então, para todo t >= t0, t in I, gamma(t) pertencerá ao círculo x^2+y^2 <= r^2. Interprete geometricamente.
Para cada equação determine d yd x.
a) (x-1)^2+y^2=3