(f) Sejam V e F como no item (f). Seja gamma(t)=(x(t), y(t)), t in I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, gamma^prime(t)= F(gamma(t)). Prove que g(t)=V(gamma(t)) é decrescente em I. Conclua que se gamma(t0), t0 in I, for um ponto da circunferência x^2+y^2=r^2, então, para todo t >= t0, t in I, gamma(t) pertencerá ao círculo x^2+y^2 <= r^2. Interprete geometricamente.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma função vetorial F e uma função escalar V, que provavelmente estão relacionadas de alguma forma (como em um campo vetorial). A gente define uma curva gamma(t) = (x(t), y(t)) que se move no tempo de tal maneira que sua derivada, ou seja, a velocidade gamma'(t), é igual ao vetor F avaliado na posição atual da curva, F(gamma(t)). O que a gente quer mostrar é que a função g(t) = V(gamma(t)) está sempre diminuindo ao longo do tempo no intervalo I. Depois disso, vamos concluir que se a curva começa em um ponto específico de um círculo de raio r, ela nunca vai sair desse círculo para fora dele conforme o tempo avança. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de funções compostas e como elas se comportam junto com campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa g(t) = V(gamma(t)). Aqui, g(t) é uma função que nos dá o valor de V na posição da curva gamma(t) a cada instante de tempo t. Para saber se g(t) está diminuindo, a gente precisa calcular sua derivada em relação ao tempo, ou seja, g'(t).

Passo 3

Vamos calcular g'(t) usando a regra da cadeia. A derivada de g(t) em relação a t é dada por:
g'(t) = nabla V(gamma(t)) cdot gamma'(t)
Aqui, nabla V é o gradiente de V, que nos dá a direção de maior aumento de V, e o ponto gamma(t) é onde estamos avaliando esse gradiente. O ponto crucial é que gamma'(t) = F(gamma(t)), então podemos substituir isso na equação.

Passo 4

Substituindo gamma'(t) por F(gamma(t)), temos:
g'(t) = nabla V(gamma(t)) cdot F(gamma(t))
Agora, para que g(t) seja decrescente, a derivada g'(t) precisa ser negativa. Ou seja, o produto interno entre o gradiente de V e o vetor de força F deve ser menor ou igual a zero.

Passo 5

Para garantir que g'(t) <= 0, geralmente impomos que F seja um campo vetorial que “diminui” o valor de V. Isso significa que F está direcionado de tal forma que sempre reduz o valor de V quando você se move na direção de F. Assim, o produto interno nabla V cdot F será negativo ou zero, garantindo que g(t) não aumenta.

Passo 6

Agora que mostramos que g'(t) <= 0, concluímos que g(t) = V(gamma(t)) é uma função decrescente no intervalo I. Isso significa que, à medida que t aumenta, o valor de V na posição da curva gamma(t) nunca aumenta, sempre igual ou diminuindo.

Passo 7

Para a segunda parte, consideramos que no tempo inicial t0, a curva está em um ponto da circunferência x^2 + y^2 = r^2. Como g(t) é decrescente, V(gamma(t)) nunca aumenta, então se V está relacionado à distância ao centro (como V(x, y) = x^2 + y^2), isso significa que a distância da curva ao centro não aumenta além de r. Logo, para todo t >= t0, a posição gamma(t) estará dentro ou exatamente na circunferência x^2 + y^2 <= r^2.

Resposta

Concluímos que a função g(t) = V(gamma(t)) é decrescente no intervalo I, e que se a curva gamma(t) começa em um ponto da circunferência x^2 + y^2 = r^2, então para todo tempo futuro t >= t0, a curva permanecerá dentro ou na fronteira desse círculo, ou seja, x^2 + y^2 <= r^2. Geometricamente, isso significa que a trajetória da curva nunca sai do círculo de raio r, garantindo que ela fica contida nessa região ao longo do tempo.

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Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^Sen x.
Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida.
(b) x^2 y^prime+x(x+2) y=e^x;
Para cada equação determine d yd x.
a) (x-1)^2+y^2=3
Para cada equação determine d yd x.
(x-2)^3+x y=y^3.