(f) Sejam
e
como no item (f). Seja
, uma curva tal que, para todo
no intervalo
. Prove que
é decrescente em
. Conclua que se
, for um ponto da circunferência
, então, para todo
pertencerá ao círculo
. Interprete geometricamente.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma função vetorial
e uma função escalar
, que provavelmente estão relacionadas de alguma forma (como em um campo vetorial). A gente define uma curva
que se move no tempo de tal maneira que sua derivada, ou seja, a velocidade
, é igual ao vetor
avaliado na posição atual da curva,
. O que a gente quer mostrar é que a função
está sempre diminuindo ao longo do tempo no intervalo
. Depois disso, vamos concluir que se a curva começa em um ponto específico de um círculo de raio
, ela nunca vai sair desse círculo para fora dele conforme o tempo avança. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de funções compostas e como elas se comportam junto com campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é uma função que nos dá o valor de
na posição da curva
a cada instante de tempo
. Para saber se
está diminuindo, a gente precisa calcular sua derivada em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, que nos dá a direção de maior aumento de
, e o ponto
é onde estamos avaliando esse gradiente. O ponto crucial é que
, então podemos substituir isso na equação.
Passo 4
Substituindo
por
, temos:
Agora, para que
seja decrescente, a derivada
precisa ser negativa. Ou seja, o produto interno entre o gradiente de
e o vetor de força
deve ser menor ou igual a zero.
Passo 5
Para garantir que
, geralmente impomos que
seja um campo vetorial que “diminui” o valor de
. Isso significa que
está direcionado de tal forma que sempre reduz o valor de
quando você se move na direção de
. Assim, o produto interno
será negativo ou zero, garantindo que
não aumenta.
Passo 6
Agora que mostramos que
, concluímos que
é uma função decrescente no intervalo
. Isso significa que, à medida que
aumenta, o valor de
na posição da curva
nunca aumenta, sempre igual ou diminuindo.
Passo 7
Para a segunda parte, consideramos que no tempo inicial
, a curva está em um ponto da circunferência
. Como
é decrescente,
nunca aumenta, então se
está relacionado à distância ao centro (como
), isso significa que a distância da curva ao centro não aumenta além de
. Logo, para todo
, a posição
estará dentro ou exatamente na circunferência
.
Resposta
Concluímos que a função
é decrescente no intervalo
, e que se a curva
começa em um ponto da circunferência
, então para todo tempo futuro
, a curva permanecerá dentro ou na fronteira desse círculo, ou seja,
. Geometricamente, isso significa que a trajetória da curva nunca sai do círculo de raio
, garantindo que ela fica contida nessa região ao longo do tempo.
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida.
(b) ;
(b)
Para cada equação determine
.
a)
a)
Para cada equação determine
.
.