Para cada equação determine
.
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para que a gente determine a derivada
da equação
. Essa é uma questão de cálculo diferencial, mais especificamente sobre a derivada implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia nas derivadas.
Passo 2
A primeira coisa que precisamos fazer é derivar cada termo da equação em relação a
. Vamos lá!
A equação que temos é:
Agora, vamos derivar cada parte:
-
Para o primeiro termo,
, aplicamos a regra da cadeia: - A derivada de
é .
- A derivada de
-
Para o segundo termo,
, que é um produto (já que temos e ), usamos a regra do produto: - A derivada é
.
- A derivada é
-
Para o terceiro termo,
, novamente aplicamos a regra da cadeia: - A derivada de
é .
- A derivada de
Agora, juntando tudo, a derivada da equação é:
Passo 3
Agora que derivamos tudo, vamos organizar os termos. Vamos isolar todos os termos que contêm
de um lado da equação:
Podemos simplificar isso para:
Agora, isolamos
:
Resposta
Portanto, a resposta que estamos procurando é:
Exercícios relacionados
Para cada equação determine
.
a)
a)
(f) Sejam
e
como no item (f). Seja
, uma curva tal que, para todo
no intervalo
. Prove que
é decrescente em
. Conclua que se
, for um ponto da circunferência
, então, para todo
pertencerá ao círculo
. Interprete geometricamente.
Para cada equação determine
.
.
Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável
na integral
, obtemos
concluindo daí que
. Por outro lado,
. Com isso, ele concluiu que
. Afinal, onde é que está o erro?