Para cada equação determine d yd x.
e^2 x=sen(x+3 y).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado da questão pede para determinar a derivada d yd x da equação e^2 x=sen(x+3 y). Esse exercício envolve o conceito de derivadas implícitas, que é uma técnica utilizada quando temos uma função não isolada (neste caso, y não está isolado em uma das laterais da equação). Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e as propriedades de derivação.

Passo 2

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x.
A derivada da esquerda, e^2x, usando a regra da cadeia, fica:
ddx(e^2x) = e^2x cdot ddx(2x) = e^2x cdot 2 = 2 e^2x
Agora, na derivada da direita, sen(x + 3y), também vamos usar a regra da cadeia. A derivada fica:
ddx(sen(x + 3y)) = cos(x + 3y) cdot ddx(x + 3y)
Aí, aplicamos a regra da derivação para x + 3y:
ddx(x + 3y) = 1 + 3d yd x
Portanto, a derivada da direita completa é:
cos(x + 3y) cdot (1 + 3 d yd x)

Passo 3

Agora, juntando tudo, nossa equação após derivar fica assim:
2 e^2x = cos(x + 3y) cdot (1 + 3 d yd x)
Para encontrar d yd x, precisamos isolar essa parte na equação. Vamos expandir a equação:
2 e^2x = cos(x + 3y) + 3 cos(x + 3y) d yd x
Agora, vamos mover o termo cos(x + 3y) para o lado esquerdo:
2 e^2x - cos(x + 3y) = 3 cos(x + 3y) d yd x
E, por último, vamos dividir ambos os lados da equação por 3 cos(x + 3y) para isolar d yd x:
d yd x = 2 e^2x - cos(x + 3y)3 cos(x + 3y)

Resposta

Então, a resposta final para d yd x é:
d yd x = 2 e^2x - cos(x + 3y)3 cos(x + 3y)

Exercícios relacionados

Para cada equação determine d yd x.
(x-2)^3+x y=y^3.
Para cada equação determine d yd x.
a) (x-1)^2+y^2=3
Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável u=1x na integral I=integral-1^1 d x1+x^2, obtemos
I=integral-1^1 d x1+x^2=-integral-1^1 d u1+u^2=-I
concluindo daí que I=0. Por outro lado, I=arctg(1)-arctg(-1)=pi4-(-pi4)=pi2. Com isso, ele concluiu que 0=pi2. Afinal, onde é que está o erro?
Determine os limites abaixo lim (x, y) (0,0) e^y+e^xcos x+sin y