Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável u=1x na integral I=integral-1^1 d x1+x^2, obtemos
I=integral-1^1 d x1+x^2=-integral-1^1 d u1+u^2=-I
concluindo daí que I=0. Por outro lado, I=arctg(1)-arctg(-1)=pi4-(-pi4)=pi2. Com isso, ele concluiu que 0=pi2. Afinal, onde é que está o erro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A questão envolve cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição de variável. O problema mostra que um estudante tentou calcular a integral fazendo a substituição e acabou chegando a uma conclusão errada. Nosso objetivo é descobrir onde ele errou.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a integral original:
I = integral-1^1 dx1+x^2
Essa é uma integral conhecida que envolve a função arco-tangente ( ).

Passo 3

O estudante tentou usar a substituição u = 1x Rightarrow x = 1u Rightarrow dx = -1u^2 du . Vamos ver como seria essa mudança de variável passo a passo.
Quando fizemos , precisamos encontrar em termos de :

Passo 4

Agora, ajustamos os limites de integração. Quando x = -1 Rightarrow u = -1; x = 1 Rightarrow u = 1 varia de a , varia de a também porque:

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
I = integral-1^1 dx1+x^2 = integral-1^1 -1u^2 du 1 + (1u)^2 = -integral-1^1 du1 + u^2 = -I
Aqui, o estudante chegou à conclusão de que , o que implica que .

Passo 6

Entretanto, sabemos que:
I = arctan(1) - arctan(-1) = pi4 - (-pi4) = pi2
Ou seja, , e não zero. Então, onde está o erro?

Passo 7

O erro está na substituição . Ao fazer essa mudança, o estudante negligenciou que não está definida para . A integral original vai de a , passando por , onde a substituição não é válida. Isso faz com que a transformação não seja apropriada para toda a faixa de integração, gerando uma conclusão equivocada.

Resposta

O erro está em usar a substituição na integral de a , porque essa substituição não é definida em , ponto onde a integral passa. Assim, a transformação não é válida em todo o intervalo, levando à conclusão incorreta de que .

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Para cada equação determine d yd x.
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