Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável
na integral
, obtemos
concluindo daí que
. Por outro lado,
. Com isso, ele concluiu que
. Afinal, onde é que está o erro?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A questão envolve cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição de variável. O problema mostra que um estudante tentou calcular a integral
fazendo a substituição
e acabou chegando a uma conclusão errada. Nosso objetivo é descobrir onde ele errou.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a integral original:
Essa é uma integral conhecida que envolve a função arco-tangente (
).
Passo 3
O estudante tentou usar a substituição
. Vamos ver como seria essa mudança de variável passo a passo.
Quando fizemos
, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 4
Agora, ajustamos os limites de integração. Quando
varia de
a
,
varia de
a
também porque:
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Aqui, o estudante chegou à conclusão de que
, o que implica que
.
Passo 6
Entretanto, sabemos que:
Ou seja,
, e não zero. Então, onde está o erro?
Passo 7
O erro está na substituição
. Ao fazer essa mudança, o estudante negligenciou que
não está definida para
. A integral original vai de
a
, passando por
, onde a substituição não é válida. Isso faz com que a transformação não seja apropriada para toda a faixa de integração, gerando uma conclusão equivocada.
Resposta
O erro está em usar a substituição
na integral de
a
, porque essa substituição não é definida em
, ponto onde a integral passa. Assim, a transformação não é válida em todo o intervalo, levando à conclusão incorreta de que
.
Exercícios relacionados
Para cada equação determine
.
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Para cada equação determine
.
.
Determine os limites abaixo
Para cada equação determine
.
.