Determine os limites abaixo lim (x, y) (0,0) e^y+e^xcos x+sin y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para encontrarmos o valor de . Esse exercício está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas aproximações de funções básicas quando e estão próximos de zero, como as expansões em série de Taylor para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as funções , e se comportam quando e estão perto de zero. A gente pode usar aproximações simplificadas, ou seja, uma forma de “quebrar” essas funções em partes mais fáceis de trabalhar:
  • quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
Essas aproximações vêm das séries de Taylor dessas funções.

Passo 3

Vamos aplicar essas aproximações na expressão do limite. Substituindo e^y + e^xcos x + sin y approx (1 + y) + (1 + x)(1 - x^22) + y por 2 + x + y1 - x^22 + y , por , por e por , temos:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com essa expressão quando 2 + 0 + 01 - 0 + 0 = 21 = 2 e tendem a zero. Observamos que:
  • No numerador, fica próximo de , já que e são bem pequenos.
  • No denominador, fica próximo de , já que e também são bem pequenos.
Então, substituindo e por zero na expressão simplificada, temos:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável u=1x na integral I=integral-1^1 d x1+x^2, obtemos
I=integral-1^1 d x1+x^2=-integral-1^1 d u1+u^2=-I
concluindo daí que I=0. Por outro lado, I=arctg(1)-arctg(-1)=pi4-(-pi4)=pi2. Com isso, ele concluiu que 0=pi2. Afinal, onde é que está o erro?
Para cada equação determine d yd x.
e^2 x=sen(x+3 y).
Para cada equação determine d yd x.
x+tg(x y)=0.
Use derivação logarítmica para calcular:
y=raiz[3]x(x-2)x^2+1.