Para cada equação determine
.
.
Passo 1
Vamos resumir a questão: precisamos determinar a derivada
da equação
. O conteúdo que estamos abordando aqui é a regra da derivação implícita, que é utilizada quando temos uma função de duas variáveis (neste caso,
e
) e não temos
isolado. Para resolver, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e depois isolar
.
Passo 2
Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que devemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada do lado esquerdo, que é apenas
, é
. Então, temos:
A derivada de
é simplesmente
. Agora, vamos derivar
. A derivada da tangente, pela regra da cadeia, é:
onde
. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto para
, então temos:
Agora, podemos reescrever a derivada de
como:
Portanto, nossa derivada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos isolar a parte que contém
. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por
:
Para simplificar isso, vamos lembrar que
. Assim,
, ficando:
Agora, isolemos a derivada:
Dividimos ambos os lados por
para obter a nossa derivada:
Resposta
Então, a resposta final para
é:
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Determine os limites abaixo
Num cálculo com integrais, um estudante desenvolveu o seguinte raciocínio: fazendo a mudança de variável
na integral
, obtemos
concluindo daí que
. Por outro lado,
. Com isso, ele concluiu que
. Afinal, onde é que está o erro?
Use derivação logarítmica para calcular:
.
Calcule os seguintes limites: