Para cada equação determine d yd x.
x+tg(x y)=0.

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos determinar a derivada d yd x da equação x + tg(x y) = 0. O conteúdo que estamos abordando aqui é a regra da derivação implícita, que é utilizada quando temos uma função de duas variáveis (neste caso, x e y) e não temos y isolado. Para resolver, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x e depois isolar d yd x.

Passo 2

Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que devemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada do lado esquerdo, que é apenas x, é 1. Então, temos:
ddx(x) + ddx(tg(x y)) = 0
A derivada de x é simplesmente 1. Agora, vamos derivar tg(x y). A derivada da tangente, pela regra da cadeia, é:
sec^2(u) cdot dudx
onde u = xy. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto para u = xy, então temos:
dudx = y + x dydx
Agora, podemos reescrever a derivada de tg(xy) como:
sec^2(xy) cdot (y + x dydx)
Portanto, nossa derivada fica assim:
1 + sec^2(xy) cdot (y + x dydx) = 0

Passo 3

Agora, vamos isolar a parte que contém dydx. Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
sec^2(xy) cdot (y + x dydx) = -1
Em seguida, dividimos ambos os lados por sec^2(xy):
y + x dydx = -1sec^2(xy)
Para simplificar isso, vamos lembrar que sec^2(xy) = 1cos^2(xy). Assim, -1sec^2(xy) = -cos^2(xy), ficando:
y + x dydx = -cos^2(xy)
Agora, isolemos a derivada:
x dydx = -cos^2(xy) - y
Dividimos ambos os lados por x para obter a nossa derivada:
dydx = -cos^2(xy) - yx

Resposta

Então, a resposta final para dydx é:
dydx = -cos^2(xy) - yx

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