Vamos começar resumindo o que o enunciado pede. Precisamos calcular a derivada da função usando derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica que simplifica o processo de diferenciar funções que são produtos, quocientes ou potências. Para isso, vamos precisar dos logaritmos e das regras de derivação básica.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Assim, temos:
Podemos usar a propriedade de logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a) para simplificar a expressão:
ln(y) = 13 ln(x(x-2)x^2+1)
Agora, novamente usando a propriedade do logaritmo que diz que ln(ab) = ln(a) - ln(b), ficamos com:
ln(y) = 13 ( ln(x(x-2)) - ln(x^2+1) )
Como o produto x(x-2) também pode ser desmembrado, aplicamos mais uma vez a propriedade dos logaritmos:
ln(y) = 13 ( ln(x) + ln(x-2) - ln(x^2+1) )
Passo 3
Agora que temos a expressão simplificada, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Usando a regra da cadeia na derivada de ln(y) e a regra da derivada de logaritmos, temos:
1y cdot dydx = 13 ( 1x + 1x-2 - 2xx^2+1 )
Multiplicando ambos os lados por y, ficamos com:
dydx = y cdot 13 ( 1x + 1x-2 - 2xx^2+1 )
Passo 4
Substituímos y novamente pela sua definição original para ter a derivada da função em termos de x: