Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:
4 x-3 x y^2+x^2 y=0, em p=(1,-1).

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela equação 4x - 3xy^2 + x^2y = 0 no ponto p = (1, -1). O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de encontrar a derivada implícita, que nos ajudará a descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para resolver, vamos precisar da derivada da função em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação dada. Para fazer isso, vamos usar a derivada implícita, já que nossa equação envolve tanto x quanto y. A ideia é derivar cada termo em relação a x, lembrando que y pode depender de x. Vamos à derivada:
  • Derivando o primeiro termo: a derivada de 4x é 4.
  • Derivando o segundo termo: temos -3xy^2. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto: -3(y^2 cdot ddx(x) + x cdot ddx(y^2)). A derivada de y^2 em relação a x é 2ydydx, então ficamos com -3(y^2 + 2xydydx).
  • O terceiro termo é x^2y. Novamente, aplicamos a regra do produto: ddx(x^2) cdot y + x^2 cdot dydx. Isso dá 2xy + x^2dydx.
Juntando tudo, a derivada da equação é:
4 - 3(y^2 + 2xy dydx) + (2xy + x^2 dydx) = 0

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos resolver para dydx. Vamos reorganizar a equação:
4 - 3y^2 - 6xydydx + 2xy + x^2dydx = 0
Isolando os termos que contêm dydx:
-6xydydx + x^2dydx = -4 + 3y^2 - 2xy
Fatorando dydx, temos:
dydx(-6xy + x^2) = -4 + 3y^2 - 2xy
Assim, podemos encontrar dydx:
dydx = -4 + 3y^2 - 2xy-6xy + x^2

Passo 4

Agora é hora de substituir o ponto p = (1, -1) na nossa expressão para a inclinação da reta tangente. Vamos fazer isso substituindo x = 1 e y = -1:
Substituindo na expressão, temos:
dydx = -4 + 3(-1)^2 - 2(1)(-1)-6(1)(-1) + (1)^2 = -4 + 3 + 26 + 1 = 17
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 17.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
y - y0 = m(x - x0)
onde (x0, y0) é o ponto onde a kita tangente toca (neste caso, (1, -1)) e m é a inclinação que encontramos. Substituindo os valores, temos:
y - (-1) = 17(x - 1)
Simplificando, a equação fica:
y + 1 = 17x - 17
Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:
y = 17x - 17 - 1
y = 17x - 87

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto p=(1,-1) é y = 17x - 87.

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Para cada equação determine d yd x.
y^2=x-1x+1.
Derive.
f(x)=x^2+1raizx+1.
Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(x+3)^x^2.