Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Passo 1
Vamos resumir a questão: precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela equação
no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de encontrar a derivada implícita, que nos ajudará a descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para resolver, vamos precisar da derivada da função em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação dada. Para fazer isso, vamos usar a derivada implícita, já que nossa equação envolve tanto
quanto
. A ideia é derivar cada termo em relação a
, lembrando que
pode depender de
. Vamos à derivada:
- Derivando o primeiro termo: a derivada de
é . - Derivando o segundo termo: temos
. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto: . A derivada de em relação a é , então ficamos com . - O terceiro termo é
. Novamente, aplicamos a regra do produto: . Isso dá .
Juntando tudo, a derivada da equação é:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos resolver para
. Vamos reorganizar a equação:
Isolando os termos que contêm
:
Fatorando
, temos:
Assim, podemos encontrar
:
Passo 4
Agora é hora de substituir o ponto
na nossa expressão para a inclinação da reta tangente. Vamos fazer isso substituindo
e
:
Substituindo na expressão, temos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
onde
é o ponto onde a kita tangente toca (neste caso,
) e
é a inclinação que encontramos. Substituindo os valores, temos:
Simplificando, a equação fica:
Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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Para cada equação determine
.
.
Derive.
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.