Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas e como substituir a função e suas derivadas na equação diferencial para verificar se a igualdade se sustenta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas da função
.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar os termos:
Somando os coeficientes:
Passo 5
Vimos que a substituição resultou em
, o que confirma que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 6
Agora, vamos determinar o maior intervalo onde a solução é válida. A função
está definida para todos os valores reais de
, ou seja, não há restrições no domínio.
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
e está definida para todo
real, ou seja, no intervalo
.
Exercícios relacionados
Marque em um plano cartesiano a região
tal que:
Esboce o gráfico da função abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função
:
f)
f)
Calcule a integral indefinida: