Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1) 2 x'' + 6 x' + 4 x = 0 ; x(t) = e^(-2 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos precisar conhecer derivadas e como substituir a função e suas derivadas na equação diferencial para verificar se a igualdade se sustenta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função .
A primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
Somando os coeficientes:

Passo 5

Vimos que a substituição resultou em , o que confirma que a função satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 6

Agora, vamos determinar o maior intervalo onde a solução é válida. A função está definida para todos os valores reais de , ou seja, não há restrições no domínio.

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial e está definida para todo real, ou seja, no intervalo .

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