Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos precisar conhecer derivadas e como substituir a função e suas derivadas na equação diferencial para verificar se a igualdade se sustenta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função .
A primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
Somando os coeficientes:

Passo 5

Vimos que a substituição resultou em , o que confirma que a função satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 6

Agora, vamos determinar o maior intervalo onde a solução é válida. A função está definida para todos os valores reais de , ou seja, não há restrições no domínio.

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial e está definida para todo real, ou seja, no intervalo .

Exercícios relacionados

Marque em um plano cartesiano a região tal que:
Esboce o gráfico da função abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função :
f)
Calcule a integral indefinida: