Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas e como substituir a função e suas derivadas na equação diferencial para verificar se a igualdade se sustenta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas da função
.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar os termos:
Somando os coeficientes:
Passo 5
Vimos que a substituição resultou em
, o que confirma que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 6
Agora, vamos determinar o maior intervalo onde a solução é válida. A função
está definida para todos os valores reais de
, ou seja, não há restrições no domínio.
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
e está definida para todo
real, ou seja, no intervalo
.