Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função :
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos as curvas de nível e fazer um esboço do gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos usar conceitos de geometria analítica para visualizar essa função no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume valores constantes. Ou seja, para diferentes valores de , teremos .

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar as curvas de nível. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Agora, reorganizamos a equação para isolar :
Essa é a equação de um círculo com raio no plano .

Passo 5

Para que o raio seja real, o valor dentro da raiz deve ser não negativo:
Como é sempre não negativo, temos .

Passo 6

Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos com raio diminuindo conforme aumenta de 0 a 1. Quando , o raio é 1 (o maior círculo), e quando , o raio é 0 (um ponto no topo).

Passo 7

Agora, para esboçar o gráfico de , reconhecemos que essa função representa a parte superior de uma esfera com centro na origem e raio 1, já que a equação completa de uma esfera é .

Resposta

O gráfico de é a metade superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano com raio para cada valor constante de , onde .

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