Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função
:
f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos as curvas de nível e fazer um esboço do gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos usar conceitos de geometria analítica para visualizar essa função no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume valores constantes. Ou seja, para diferentes valores de
, teremos
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar as curvas de nível. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Agora, reorganizamos a equação para isolar
:
Essa é a equação de um círculo com raio
no plano
.
Passo 5
Para que o raio seja real, o valor dentro da raiz deve ser não negativo:
Como
é sempre não negativo, temos
.
Passo 6
Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos com raio diminuindo conforme
aumenta de 0 a 1. Quando
, o raio é 1 (o maior círculo), e quando
, o raio é 0 (um ponto no topo).
Passo 7
Agora, para esboçar o gráfico de
, reconhecemos que essa função representa a parte superior de uma esfera com centro na origem e raio 1, já que a equação completa de uma esfera é
.
Resposta
O gráfico de
é a metade superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano
com raio
para cada valor constante de
, onde
.
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Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)
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Marque em um plano cartesiano a região
tal que:
Calcule a integral indefinida:
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(3)
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