Marque em um plano cartesiano a região tal que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar no plano cartesiano a região que satisfaz duas condições:
Isso envolve trabalhar com círculos e parábolas. Vamos precisar entender como identificar o centro e o raio de um círculo a partir da equação geral e como desenhar uma parábola. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira inequação para identificar o círculo. A equação geral de um círculo é , onde é o centro e é o raio.
Começamos com:
Vamos completar o quadrado para e :
  1. Para :
    Adicionamos e subtraímos :
  2. Para :
    Adicionamos e subtraímos :
Substituindo de volta na inequação:
Então, temos um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda inequação:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima. O vértice da parábola está em . A inequação significa que estamos interessados na região abaixo da parábola.

Passo 4

Para marcar a região , precisamos identificar onde as duas condições se sobrepõem:
  1. Dentro do círculo
  2. Abaixo da parábola
Vamos desenhar o círculo e a parábola no mesmo plano cartesiano e identificar a área que satisfaz ambas as condições.

Passo 5

Após desenhar:
  • O círculo estará centralizado em com raio .
  • A parábola passará pelo ponto e se abrirá para cima.
A região será a parte do círculo que está abaixo da parábola. Ou seja, dentro do círculo e também abaixo da curva da parábola.

Resposta

A região no plano cartesiano é o conjunto de pontos que estão dentro do círculo de centro e raio e abaixo da parábola definida por . Ao desenhar, é a parte do círculo que fica sob a curva da parábola.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
Para cada cquaçio ED abaixo, determine sua ordem. Nomeie a variável independente, a variável dependente e quaisquer parâmetros na equação.
(8)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função :
f)