Marque em um plano cartesiano a região
tal que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar no plano cartesiano a região
que satisfaz duas condições:
Isso envolve trabalhar com círculos e parábolas. Vamos precisar entender como identificar o centro e o raio de um círculo a partir da equação geral e como desenhar uma parábola. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira inequação para identificar o círculo. A equação geral de um círculo é
, onde
é o centro e
é o raio.
Começamos com:
Vamos completar o quadrado para
e
:
-
Para
: Adicionamos e subtraímos: -
Para
: Adicionamos e subtraímos:
Substituindo de volta na inequação:
Então, temos um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda inequação:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima. O vértice da parábola está em
. A inequação
significa que estamos interessados na região abaixo da parábola.
Passo 4
Para marcar a região
, precisamos identificar onde as duas condições se sobrepõem:
- Dentro do círculo
- Abaixo da parábola
Vamos desenhar o círculo e a parábola no mesmo plano cartesiano e identificar a área que satisfaz ambas as condições.
Passo 5
Após desenhar:
- O círculo estará centralizado em
com raio . - A parábola passará pelo ponto
e se abrirá para cima.
A região
será a parte do círculo que está abaixo da parábola. Ou seja, dentro do círculo e também abaixo da curva da parábola.
Resposta
A região
no plano cartesiano é o conjunto de pontos que estão dentro do círculo de centro
e raio
e abaixo da parábola definida por
. Ao desenhar, é a parte do círculo que fica sob a curva da parábola.