Marque em um plano cartesiano a região
tal que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar no plano cartesiano a região
que satisfaz duas condições:
Isso envolve trabalhar com círculos e parábolas. Vamos precisar entender como identificar o centro e o raio de um círculo a partir da equação geral e como desenhar uma parábola. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira inequação para identificar o círculo. A equação geral de um círculo é
, onde
é o centro e
é o raio.
Começamos com:
Vamos completar o quadrado para
e
:
-
Para
: Adicionamos e subtraímos: -
Para
: Adicionamos e subtraímos:
Substituindo de volta na inequação:
Então, temos um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda inequação:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima. O vértice da parábola está em
. A inequação
significa que estamos interessados na região abaixo da parábola.
Passo 4
Para marcar a região
, precisamos identificar onde as duas condições se sobrepõem:
- Dentro do círculo
- Abaixo da parábola
Vamos desenhar o círculo e a parábola no mesmo plano cartesiano e identificar a área que satisfaz ambas as condições.
Passo 5
Após desenhar:
- O círculo estará centralizado em
com raio . - A parábola passará pelo ponto
e se abrirá para cima.
A região
será a parte do círculo que está abaixo da parábola. Ou seja, dentro do círculo e também abaixo da curva da parábola.
Resposta
A região
no plano cartesiano é o conjunto de pontos que estão dentro do círculo de centro
e raio
e abaixo da parábola definida por
. Ao desenhar, é a parte do círculo que fica sob a curva da parábola.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
Para cada cquaçio ED abaixo, determine sua ordem. Nomeie a variável independente, a variável dependente e quaisquer parâmetros na equação.
(8)
(8)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)
(1)
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função
:
f)
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