Marque em um plano cartesiano a região R tal que:
R = {(x, y) em R² ; x² + y² - 4x - 8y + 20 < 1 e y < x² + 4}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar no plano cartesiano a região que satisfaz duas condições:
Isso envolve trabalhar com círculos e parábolas. Vamos precisar entender como identificar o centro e o raio de um círculo a partir da equação geral e como desenhar uma parábola. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira inequação para identificar o círculo. A equação geral de um círculo é , onde é o centro e é o raio.
Começamos com:
Vamos completar o quadrado para e :
  1. Para :
    Adicionamos e subtraímos :
  2. Para :
    Adicionamos e subtraímos :
Substituindo de volta na inequação:
Então, temos um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda inequação:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima. O vértice da parábola está em . A inequação significa que estamos interessados na região abaixo da parábola.

Passo 4

Para marcar a região , precisamos identificar onde as duas condições se sobrepõem:
  1. Dentro do círculo
  2. Abaixo da parábola
Vamos desenhar o círculo e a parábola no mesmo plano cartesiano e identificar a área que satisfaz ambas as condições.

Passo 5

Após desenhar:
  • O círculo estará centralizado em com raio .
  • A parábola passará pelo ponto e se abrirá para cima.
A região será a parte do círculo que está abaixo da parábola. Ou seja, dentro do círculo e também abaixo da curva da parábola.

Resposta

A região no plano cartesiano é o conjunto de pontos que estão dentro do círculo de centro e raio e abaixo da parábola definida por . Ao desenhar, é a parte do círculo que fica sob a curva da parábola.

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