Esboce o gráfico da função abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos seguir um passo a passo que envolve diversos conceitos de cálculo, como domínio, derivadas primeira e segunda, pontos críticos, inflexões, assíntotas e extrema da função. Vamos precisar calcular derivadas, analisar sinais e aplicar conceitos de gráficos de funções exponenciais.
Passo 2
Determinar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função dada é
. A função exponencial
está definida para todo
real, ou seja, não há restrições no expoente. Portanto, não existem valores de
que tornem a função indefinida.
Domínio:
(todos os números reais).
Passo 3
Determinar os pontos críticos
Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de
.
Agora, igualamos
a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, a única solução é
.
Ponto crítico:
Passo 4
Estudar o sinal da derivada primeira
Analisamos o sinal de
. Sabemos que
para todo
.
- Para
: , então . - Para
: , então .
Conclusão:
- A função está crescendo quando
. - A função está decrescendo quando
.
Passo 5
Estudar o sinal da derivada segunda
Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de
.
Agora, analisamos o sinal de
. Como
, o sinal de
depende de
.
-
quando → -
quando �� -
quando
Conclusão:
-
para → Concavidade para cima. -
para → Concavidade para baixo.
Passo 6
Verificar se existem pontos de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal.
Conforme analisado no passo anterior, isso acontece em
.
Pontos de inflexão:
e
Passo 7
Determinar máximos, mínimos, absolutos ou relativos
Analisando o ponto crítico
:
- Para
, (função crescente). - Para
, (função decrescente).
Como a função passa de crescente para decrescente em
, temos um máximo relativo nesse ponto.
Calculando
:
Máximo relativo:
,
Passo 8
Esboçar o gráfico da função
Com as informações obtidas:
- Domínio:
- Ponto crítico:
com máximo relativo - Pontos de inflexão:
- Concavidade:
- Para
: Concavidade para baixo. - Para
: Concavidade para cima.
- Para
- Comportamento:
- A função cresce até
e depois decresce. - Não há assíntotas.
- A função cresce até
O gráfico terá uma forma de sino, com o ponto mais alto em
e pontos de inflexão nos pontos calculados.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta um máximo relativo em
, pontos de inflexão em
, concavidade para baixo entre esses pontos e concavidade para cima fora deles. Não há assíntotas e a função é definida para todos os números reais.
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Para cada cquaçio ED abaixo, determine sua ordem. Nomeie a variável independente, a variável dependente e quaisquer parâmetros na equação.
(8)
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(7)
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Marque em um plano cartesiano a região
tal que:
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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