Esboce o gráfico da função abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo do sinal da derivada segunda;
5 - Verifique se existem pontos de inflexão;
6 - Determine assíntotas se existirem;
7 - Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos seguir um passo a passo que envolve diversos conceitos de cálculo, como domínio, derivadas primeira e segunda, pontos críticos, inflexões, assíntotas e extrema da função. Vamos precisar calcular derivadas, analisar sinais e aplicar conceitos de gráficos de funções exponenciais.

Passo 2

Determinar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função dada é . A função exponencial está definida para todo real, ou seja, não há restrições no expoente. Portanto, não existem valores de que tornem a função indefinida.
Domínio: (todos os números reais).

Passo 3

Determinar os pontos críticos
Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de .
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, a única solução é .
Ponto crítico:

Passo 4

Estudar o sinal da derivada primeira
Analisamos o sinal de . Sabemos que para todo .
  • Para : , então .
  • Para : , então .
Conclusão:
  • A função está crescendo quando .
  • A função está decrescendo quando .

Passo 5

Estudar o sinal da derivada segunda
Primeiro, vamos calcular a derivada segunda de .
Agora, analisamos o sinal de . Como , o sinal de depende de .
  • quando
  • quando ��
  • quando
Conclusão:
  • para → Concavidade para cima.
  • para → Concavidade para baixo.

Passo 6

Verificar se existem pontos de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal.
Conforme analisado no passo anterior, isso acontece em .
Pontos de inflexão: e

Passo 7

Determinar máximos, mínimos, absolutos ou relativos
Analisando o ponto crítico :
  • Para , (função crescente).
  • Para , (função decrescente).
Como a função passa de crescente para decrescente em , temos um máximo relativo nesse ponto.
Calculando :
Máximo relativo: ,

Passo 8

Esboçar o gráfico da função
Com as informações obtidas:
  • Domínio:
  • Ponto crítico: com máximo relativo
  • Pontos de inflexão:
  • Concavidade:
    • Para : Concavidade para baixo.
    • Para : Concavidade para cima.
  • Comportamento:
    • A função cresce até e depois decresce.
    • Não há assíntotas.
O gráfico terá uma forma de sino, com o ponto mais alto em e pontos de inflexão nos pontos calculados.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta um máximo relativo em , pontos de inflexão em , concavidade para baixo entre esses pontos e concavidade para cima fora deles. Não há assíntotas e a função é definida para todos os números reais.

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