Calcule a integral indefinida:
integral 1x^3-5 x^2+8 x-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral 1x^3-5 x^2+8 x-4 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador: 1^3 - 5 cdot 1^2 + 8 cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0 . Para isso, tentamos encontrar as raízes desse polinômio.
Vamos testar :
Como deu zero, é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores.

Passo 3

Fazendo a divisão:
x^3-5 x^2+8 x-4 = (x - 1)(x^2-4x+4)
Agora, vamos fatorar o quadrático (x - 1)(x - 2)^2 . Observamos que ele é igual a . Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, escrevemos a fração original em termos de frações parciais:
1(x - 1)(x - 2)^2 = Ax - 1 + Bx - 2 + C(x - 2)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(1 - 2)^2 Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1
Vamos escolher valores de 1 = C(2 - 1) Rightarrow 1 = C Rightarrow C = 1 que simplifiquem a resolução:
  • Se 1 = 1 cdot (x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + 1 cdot (x - 1) :
  • Se :
Agora, substituímos e na equação original para encontrar :
Expandindo e simplificando, encontramos que .

Passo 6

Agora que temos 1(x - 1)(x - 2)^2 = 1x - 1 - 1x - 2 + 1(x - 2)^2 , integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1| e integral -1x - 2 , dx = -ln|x - 2| , podemos escrever a fração parcial:
integral 1(x - 2)^2 , dx = -1x - 2
Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
ln|x - 1| - ln|x - 2| - 1x - 2 + C
Onde é a constante de integração.

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