Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador:
. Para isso, tentamos encontrar as raízes desse polinômio.
Vamos testar
:
Como deu zero,
é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por
para encontrar os outros fatores.
Passo 3
Fazendo a divisão:
Agora, vamos fatorar o quadrático
. Observamos que ele é igual a
. Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora, escrevemos a fração original em termos de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Vamos escolher valores de
que simplifiquem a resolução:
- Se
: - Se
:
Agora, substituímos
e
na equação original para encontrar
:
Expandindo e simplificando, encontramos que
.
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a fração parcial:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função
:
f)
f)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)
(1)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(3)
(3)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(8)
(8)