Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador: . Para isso, tentamos encontrar as raízes desse polinômio.
Vamos testar :
Como deu zero, é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores.

Passo 3

Fazendo a divisão:
Agora, vamos fatorar o quadrático . Observamos que ele é igual a . Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, escrevemos a fração original em termos de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Vamos escolher valores de que simplifiquem a resolução:
  • Se :
  • Se :
Agora, substituímos e na equação original para encontrar :
Expandindo e simplificando, encontramos que .

Passo 6

Agora que temos , e , podemos escrever a fração parcial:
Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função :
f)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(1)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(3)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(8)