Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e uma função proposta para ver se ela é solução dessa equação. A equação diferencial é:
E a função que a gente quer testar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de , e depois substituir tudo na equação para ver se iguala a zero. Também vamos verificar em que intervalo de essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Como , a derivada de é:
Aqui, usamos a regra da potência para derivadas, que nos diz que derivar resulta em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A primeira derivada que encontramos foi . Derivando isso novamente:
Mais uma vez, aplicamos a regra da potência.

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. O último termo já está simplificado:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos:
Isso confirma que, quando substituímos na equação diferencial, obtemos 0, que é exatamente o que a equação pede.

Passo 7

Agora que confirmamos que é uma solução da equação diferencial, vamos determinar o maior intervalo de onde essa solução é válida.
A função está definida para todos os valores de exceto , porque não podemos dividir por zero. Além disso, na equação diferencial original, temos termos como no denominador, o que também não permite que .

Passo 8

Portanto, o maior intervalo onde a solução é definida e satisfaz a equação diferencial é:
Ou seja, todos os números reais exceto zero.

Resposta

A função é solução da equação diferencial definida para todos os valores de diferentes de zero, ou seja, .

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Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função :
f)
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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