Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e uma função proposta para ver se ela é solução dessa equação. A equação diferencial é:
E a função que a gente quer testar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de
, e depois substituir tudo na equação para ver se iguala a zero. Também vamos verificar em que intervalo de
essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Como
, a derivada de
é:
Aqui, usamos a regra da potência para derivadas, que nos diz que derivar
resulta em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. A primeira derivada que encontramos foi
. Derivando isso novamente:
Mais uma vez, aplicamos a regra da potência.
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
-
-
- O último termo já está simplificado:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos:
Isso confirma que, quando substituímos
na equação diferencial, obtemos 0, que é exatamente o que a equação pede.
Passo 7
Agora que confirmamos que
é uma solução da equação diferencial, vamos determinar o maior intervalo de
onde essa solução é válida.
A função
está definida para todos os valores de
exceto
, porque não podemos dividir por zero. Além disso, na equação diferencial original, temos termos como
no denominador, o que também não permite que
.
Passo 8
Portanto, o maior intervalo onde a solução
é definida e satisfaz a equação diferencial é:
Ou seja, todos os números reais exceto zero.
Resposta
A função
é solução da equação diferencial
definida para todos os valores de
diferentes de zero, ou seja,
.
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:
f)
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Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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