Nos próximos quatro problemas, mostre que as funções dadas formam uma solução do sistema. Determine o maior intervalo da variável independente sobre o qual a solução é definida, e satisfaz as equações.
(2)
solução do sistema é
(2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais:
E nos disseram que uma possível solução é:
Nosso objetivo aqui é verificar se realmente essas funções resolvem o sistema e descobrir qual é o maior intervalo de
onde isso vale.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser solução do sistema, ela precisa satisfazer ambas as equações para todo
no intervalo considerado. Então, vamos calcular as derivadas de
e
.
Dada:
A derivada de
em relação a
é:
E para
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
,
e
nas equações do sistema para ver se as igualdades se mantêm.
Primeira equação do sistema:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Então:
Comparando os termos, percebemos que:
Isso indica que a primeira equação não está sendo satisfeita. Parece que houve um erro na solução proposta.
Passo 4
Como a primeira equação não foi satisfeita, vamos verificar se houve algum erro nos cálculos ou se a solução fornecida está correta.
Recalculando
:
E substituindo novamente na primeira equação:
A diferença está nos termos com
, o que confirma que a solução proposta não satisfaz a primeira equação do sistema.
Resposta
A solução
e
não satisfaz o sistema de equações dado, pois não atende à primeira equação para todo
. Portanto, essa não é uma solução válida do sistema.