Nos próximos quatro problemas, mostre que as funções dadas formam uma solução do sistema. Determine o maior intervalo da variável independente sobre o qual a solução é definida, e satisfaz as equações.
(2) x' = x - y, y' = -4x + y solução do sistema é x(t) = e^(-t) - 3 e^(3t), y(t) = 2 e^(-t) + 2 e^(3t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais:
E nos disseram que uma possível solução é:
Nosso objetivo aqui é verificar se realmente essas funções resolvem o sistema e descobrir qual é o maior intervalo de onde isso vale.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser solução do sistema, ela precisa satisfazer ambas as equações para todo no intervalo considerado. Então, vamos calcular as derivadas de e .
Dada:
A derivada de em relação a é:
E para :

Passo 3

Agora, vamos substituir , , e nas equações do sistema para ver se as igualdades se mantêm.
Primeira equação do sistema:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Então:
Comparando os termos, percebemos que:
Isso indica que a primeira equação não está sendo satisfeita. Parece que houve um erro na solução proposta.

Passo 4

Como a primeira equação não foi satisfeita, vamos verificar se houve algum erro nos cálculos ou se a solução fornecida está correta.
Recalculando :
E substituindo novamente na primeira equação:
A diferença está nos termos com , o que confirma que a solução proposta não satisfaz a primeira equação do sistema.

Resposta

A solução e não satisfaz o sistema de equações dado, pois não atende à primeira equação para todo . Portanto, essa não é uma solução válida do sistema.

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