Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo. (8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: e uma função proposta como solução: . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação e descobrir para quais valores de isso vale.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas da função para substituir na equação. Vamos começar com a primeira derivada, . A função é . A primeira derivada é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . A derivada de é: .

Passo 4

Com , e calculados, vamos substituir na equação diferencial: . Substituindo: .

Passo 5

Vamos simplificar cada termo: Primeiro termo: . Segundo termo: . Terceiro termo: . Somando tudo: .

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes: - Termos com : . - Termos com : . Portanto, a soma total é , que é uma identidade verdadeira.

Passo 7

Isso significa que a função realmente satisfaz a equação diferencial dada para todos os valores de .

Resposta

A função é solução da equação diferencial para todo .

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