Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: e uma função proposta como solução: . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação e descobrir para quais valores de isso vale.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas da função para substituir na equação. Vamos começar com a primeira derivada, .
A função é .
A primeira derivada é .
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, .
A derivada de é:
.
Passo 4
Com , e calculados, vamos substituir na equação diferencial:
.
Substituindo:
.
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo: .
Segundo termo: .
Terceiro termo: .
Somando tudo:
.
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos com : .
- Termos com : .
Portanto, a soma total é , que é uma identidade verdadeira.
Passo 7
Isso significa que a função realmente satisfaz a equação diferencial dada para todos os valores de .
Resposta
A função é solução da equação diferencial para todo .
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