Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(8)
(8)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
e uma função proposta como solução:
. Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação e descobrir para quais valores de
isso vale.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas da função
para substituir na equação. Vamos começar com a primeira derivada,
.
A função é
.
A primeira derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
.
A derivada de
é:
Passo 4
Com
,
e
calculados, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
.
Segundo termo:
.
Terceiro termo:
.
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos com
: . - Termos com
: .
Portanto, a soma total é
, que é uma identidade verdadeira.
Passo 7
Isso significa que a função
realmente satisfaz a equação diferencial dada para todos os valores de
.
Resposta
A função
é solução da equação diferencial
para todo
.