Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(8) x'' - 2 t x' + 6 x = 0 ; x(t) = 8 t^3 - 12 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: e uma função proposta como solução: . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação e descobrir para quais valores de isso vale.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas da função para substituir na equação. Vamos começar com a primeira derivada, .
A função é .
A primeira derivada é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, .
A derivada de é:
.

Passo 4

Com , e calculados, vamos substituir na equação diferencial:
.
Substituindo:
.

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo: .
Segundo termo: .
Terceiro termo: .
Somando tudo:
.

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos com : .
  • Termos com : .
Portanto, a soma total é , que é uma identidade verdadeira.

Passo 7

Isso significa que a função realmente satisfaz a equação diferencial dada para todos os valores de .

Resposta

A função é solução da equação diferencial para todo .

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