Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
. A função que a gente quer verificar se é solução é
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para mostrar que essa função resolve a equação. Precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de
, substituir na equação e ver se o resultado é zero. Além disso, vamos verificar para quais valores de
essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Usando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Vamos derivar
novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
E simplificando mais:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Parece que ainda ficou um termo
, mas na verdade, houve um erro na simplificação. Vamos refazer essa parte:
Passo 5
Vamos refazer a soma corretamente:
Ainda não está zero, então precisamos verificar os cálculos anteriores para encontrar onde está o erro.
Passo 6
Vamos recalcular a segunda derivada para garantir que está correta:
Derivando novamente:
Confirmando que a segunda derivada está correta. Vamos então substituir novamente:
Somando:
Ainda não deu zero, o que significa que
não é uma solução da equação diferencial dada.
Resposta
Após verificar os cálculos, percebemos que
não satisfaz a equação diferencial
. Portanto, a função proposta não é uma solução válida para a equação.
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Calcule a integral de linha
, onde
e
é o segmento de reta que liga os pontos
a
.
- Resposta :