Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . A função que a gente quer verificar se é solução é . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para mostrar que essa função resolve a equação. Precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de , substituir na equação e ver se o resultado é zero. Além disso, vamos verificar para quais valores de essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Usando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
E simplificando mais:

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Parece que ainda ficou um termo , mas na verdade, houve um erro na simplificação. Vamos refazer essa parte:

Passo 5

Vamos refazer a soma corretamente:
Ainda não está zero, então precisamos verificar os cálculos anteriores para encontrar onde está o erro.

Passo 6

Vamos recalcular a segunda derivada para garantir que está correta:
Derivando novamente:
Confirmando que a segunda derivada está correta. Vamos então substituir novamente:
Somando:
Ainda não deu zero, o que significa que não é uma solução da equação diferencial dada.

Resposta

Após verificar os cálculos, percebemos que não satisfaz a equação diferencial . Portanto, a função proposta não é uma solução válida para a equação.

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