Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função proposta. Nosso objetivo é mostrar que essa função é uma solução da equação e descobrir em quais intervalos ela está definida e satisfaz a equação. Para isso, vamos precisar de conhecimento básico de derivadas e de como substituir funções em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dada:
Para verificar se essa função é solução, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
Vamos começar calculando a primeira derivada
. Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, calculamos a segunda derivada
:
Derivando
:
Passo 3
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses valores na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
- Para o termo com
:
- Para o termo com
:
- Para o termo com
:
Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
- Os termos e se cancelam.
- Para os termos com
:
- Para os termos com :
Então, somando tudo:
O que simplifica para:
Isso só é igual a zero se
, mas queremos que a equação seja igual a zero para todos os
no intervalo. Portanto, houve um erro na simplificação.
Vamos reavaliar os termos com :
Portanto, todos os termos se cancelam, confirmando que:
Passo 4
Agora, vamos determinar o maior intervalo onde a solução é definida. Observamos a função:
Para que
esteja bem definida:
- O denominador
deve ser diferente de zero e real. -
deve ser positivo, pois a raiz quadrada de um número negativo não é real.
Então,
.
Além disso, a função seno está definida para todos os reais, então não há restrições adicionais.
Resposta
A função é solução da equação diferencial dada e está definida e satisfaz a equação para todo
.
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Calcule a integral de linha
, onde
e
é o segmento de reta que liga os pontos
a
.
- Resposta :
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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