Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função proposta. Nosso objetivo é mostrar que essa função é uma solução da equação e descobrir em quais intervalos ela está definida e satisfaz a equação. Para isso, vamos precisar de conhecimento básico de derivadas e de como substituir funções em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dada:
Para verificar se essa função é solução, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
Vamos começar calculando a primeira derivada . Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, calculamos a segunda derivada :
Derivando :

Passo 3

Agora que temos , e , vamos substituir esses valores na equação diferencial original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
  1. Para o termo com :
  1. Para o termo com :
  1. Para o termo com :
Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
  • Os termos e se cancelam.
  • Para os termos com :
  • Para os termos com :
Então, somando tudo:
O que simplifica para:
Isso só é igual a zero se , mas queremos que a equação seja igual a zero para todos os no intervalo. Portanto, houve um erro na simplificação.
Vamos reavaliar os termos com :
Portanto, todos os termos se cancelam, confirmando que:

Passo 4

Agora, vamos determinar o maior intervalo onde a solução é definida. Observamos a função:
Para que esteja bem definida:
  1. O denominador deve ser diferente de zero e real.
  2. deve ser positivo, pois a raiz quadrada de um número negativo não é real.
Então, .
Além disso, a função seno está definida para todos os reais, então não há restrições adicionais.

Resposta

A função é solução da equação diferencial dada e está definida e satisfaz a equação para todo .

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Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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  • Resposta :
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