Calcule a integral de linha integralc f d s, onde f(x, y)=y e^x e c é o segmento de reta que liga os pontos (1,2) a (4,7).
  • Resposta : raiz349(16 e^3-1) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral de linha integralc f , ds, onde a função f(x, y) = y e^x e c é o segmento de reta que liga os pontos (1,2) a (4,7). Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que é uma forma de acumular valores de uma função ao longo de uma curva. Precisaremos parametrizar a reta que liga esses pontos e depois aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta c. Para fazer isso, assumimos que a reta pode ser descrita por uma função vetorial que depende de um parâmetro t, que varia de 0 a 1. As coordenadas x e y no segmento de reta podem ser escritas como:
x(t) = x0 + t(x1 - x0)
y(t) = y0 + t(y1 - y0)
Onde (x0, y0) = (1,2) e (x1, y1) = (4,7). Então:
x(t) = 1 + t(4 - 1) = 1 + 3t
y(t) = 2 + t(7 - 2) = 2 + 5t

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dos vetores em relação a t para encontrar ds. A derivada de x(t) e y(t) em relação a t é:
dxdt = 3
dydt = 5
O diferencial de arco ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz3^2 + 5^2 , dt = raiz9 + 25 , dt = raiz34 , dt

Passo 4

Agora, substituímos x(t) e y(t) na função f(x, y):
f(x(t), y(t)) = y(t) e^x(t) = (2 + 5t) e^1 + 3t
Então, a integral de linha fica:
integral0^1 f(x(t), y(t)) , ds = integral0^1 (2 + 5t) e^1 + 3t raiz34 , dt
Podemos fatorar a constante raiz34 para fora da integral:
raiz34 integral0^1 (2 + 5t) e^1 + 3t , dt

Passo 5

Para resolver a integral integral (2 + 5t) e^1 + 3t , dt, usamos a substituição. Vamos definir:
u = 1 + 3t Rightarrow du = 3 , dt Rightarrow dt = du3
Expressando t em termos de u:
t = u - 13
Substituindo na integral:
integral (2 + 5t) e^u du3 = 13 integral (2 + 5(u - 13)) e^u , du = 13 integral (2 + 5u - 53) e^u , du
Simplificando:
13 integral (6 + 5u - 53) e^u , du = 19 integral (5u + 1) e^u , du
Agora, aplicamos a integração por partes para integral u e^u , du:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Então:
19 (5(u e^u - e^u) + integral e^u , du ) = 19 (5u e^u - 5e^u + e^u) + C = 19 (5u e^u - 4e^u) + C
Voltando para t:
u = 1 + 3t Rightarrow 5u e^u - 4e^u = e^1 + 3t (5(1 + 3t) - 4) = e^1 + 3t (5 + 15t - 4) = e^1 + 3t (1 + 15t)

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
raiz349 [ e^1 + 3t (1 + 15t) ]0^1 = raiz349 ( e^4 (1 + 15 cdot 1) - e^1 (1 + 15 cdot 0) ) = raiz349 (16 e^4 - e^1)

Resposta

raiz349 (16 e^4 - e)

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