Calcule a integral de linha , onde e é o segmento de reta que liga os pontos a .
  • Resposta :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral de linha , onde a função e é o segmento de reta que liga os pontos a . Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que é uma forma de acumular valores de uma função ao longo de uma curva. Precisaremos parametrizar a reta que liga esses pontos e depois aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . Para fazer isso, assumimos que a reta pode ser descrita por uma função vetorial que depende de um parâmetro , que varia de 0 a 1. As coordenadas e no segmento de reta podem ser escritas como:
Onde e . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dos vetores em relação a para encontrar . A derivada de e em relação a é:
O diferencial de arco é dado por:

Passo 4

Agora, substituímos e na função :
Então, a integral de linha fica:
Podemos fatorar a constante para fora da integral:

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a substituição. Vamos definir:
Expressando em termos de :
Substituindo na integral:
Simplificando:
Agora, aplicamos a integração por partes para :
Então:
Voltando para :

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de a :

Resposta

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