Calcule a integral de linha
, onde
e
é o segmento de reta que liga os pontos
a
.
- Resposta :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral de linha
, onde a função
e
é o segmento de reta que liga os pontos
a
. Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que é uma forma de acumular valores de uma função ao longo de uma curva. Precisaremos parametrizar a reta que liga esses pontos e depois aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. Para fazer isso, assumimos que a reta pode ser descrita por uma função vetorial que depende de um parâmetro
, que varia de 0 a 1. As coordenadas
e
no segmento de reta podem ser escritas como:
Onde
e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dos vetores em relação a
para encontrar
. A derivada de
e
em relação a
é:
O diferencial de arco
é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função
:
Então, a integral de linha fica:
Podemos fatorar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos a substituição. Vamos definir:
Expressando
em termos de
:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Agora, aplicamos a integração por partes para
:
Então:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Resposta
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, onde
e
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cost, sent,
.
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