Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(7)

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos uma equação diferencial e uma função proposta . Nosso objetivo é verificar se essa função é realmente uma solução dessa equação e descobrir em quais intervalos de ela está definida e satisfaz a equação. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e comparar com a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas.
A derivada de em relação a é multiplicado pela derivada de .
Aplicando isso:
Calculando a derivada de dentro:
Então:

Passo 3

Agora, vamos comparar a derivada que encontramos com a equação diferencial dada: .
Substituindo na equação diferencial:
Observamos que isso é exatamente igual ao que encontramos para :
Portanto, a função satisfaz a equação diferencial .

Passo 4

Agora, precisamos determinar em quais intervalos de a função está definida e a equação diferencial é satisfeita.
A função está definida quando o radicando é positivo, ou seja:
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de onde a função é válida.

Passo 5

Para resolver , primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e .
Agora, analisamos o sinal da expressão quadrática:
  • Para ,
  • Entre e ,
  • Para ,
Portanto, a função está definida e a equação diferencial é satisfeita para:

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial definida para os intervalos e .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha , onde e é o segmento de reta que liga os pontos a .
  • Resposta :
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(9)
Calcule a integral de linha , onde e é a hélice circular parametrizada por cost, sent, .
  • Resposta :
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
(5)