Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos uma equação diferencial
e uma função proposta
. Nosso objetivo é verificar se essa função é realmente uma solução dessa equação e descobrir em quais intervalos de
ela está definida e satisfaz a equação. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função
e comparar com a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas.
A derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
.
Aplicando isso:
Calculando a derivada de dentro:
Então:
Passo 3
Agora, vamos comparar a derivada que encontramos com a equação diferencial dada:
.
Substituindo
na equação diferencial:
Observamos que isso é exatamente igual ao que encontramos para
:
Portanto, a função
satisfaz a equação diferencial
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar em quais intervalos de
a função
está definida e a equação diferencial é satisfeita.
A função
está definida quando o radicando é positivo, ou seja:
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de
onde a função é válida.
Passo 5
Para resolver
, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
e
.
Agora, analisamos o sinal da expressão quadrática:
- Para
, - Entre
e , - Para
,
Portanto, a função
está definida e a equação diferencial é satisfeita para:
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
definida para os intervalos
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
e
é o segmento de reta que liga os pontos
a
.
- Resposta :
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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Calcule a integral de linha
, onde
e
é a hélice circular parametrizada por
cost, sent,
.
- Resposta :
Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equaçĩo.
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