Calcule a integral de linha
, onde
e
é a hélice circular parametrizada por
cost, sent,
.
- Resposta :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
e
é uma hélice circular parametrizada por
para
.
Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha e parametrizações de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela soma os valores de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a função é
e a curva
é uma hélice definida pela parametrização
.
Passo 3
Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Aqui,
é a parametrização da curva,
é a derivada de
em relação a
, e
é o comprimento do vetor derivada, que representa um elemento de arco na curva.
Passo 4
Vamos encontrar
. Derivando cada componente de
:
Agora, vamos calcular a norma de
:
Passo 5
Agora, substituímos
na integral. Como
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Sabemos que:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, temos:
Resposta
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, onde
e
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a
.
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