Calcule a integral de linha , onde e é a hélice circular parametrizada por cost, sent, .
  • Resposta :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde e é uma hélice circular parametrizada por para .
Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha e parametrizações de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela soma os valores de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a função é e a curva é uma hélice definida pela parametrização .

Passo 3

Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Aqui, é a parametrização da curva, é a derivada de em relação a , e é o comprimento do vetor derivada, que representa um elemento de arco na curva.

Passo 4

Vamos encontrar . Derivando cada componente de :
Agora, vamos calcular a norma de :

Passo 5

Agora, substituímos na integral. Como , temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Sabemos que:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, temos:

Resposta

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