Calcule a integral de linha integralc f d s, onde f(x, y, z)=y senz e c é a hélice circular parametrizada por r(t)=( cost, sent, t), 0 <= t <= 2 pi.
  • Resposta : pi raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde e é uma hélice circular parametrizada por para .
Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha e parametrizações de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela soma os valores de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a função é e a curva é uma hélice definida pela parametrização .

Passo 3

Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
integralc f , ds = integrala^b f(r(t)) | r'(t) | , dt
Aqui, é a parametrização da curva, é a derivada de em relação a , e é o comprimento do vetor derivada, que representa um elemento de arco na curva.

Passo 4

Vamos encontrar r(t) = (cos t, sin t, t) . Derivando cada componente de r'(t) = (-sin t, cos t, 1) :
| r'(t) | = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2
Agora, vamos calcular a norma de :

Passo 5

Agora, substituímos f(r(t)) = y sin z = sin t cdot sin t = sin^2 t na integral. Como integral0^2pi sin^2 t cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2 t , dt , temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Sabemos que:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2
Então, a integral se torna:
raiz2 integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = raiz22 integral0^2pi (1 - cos(2t)) , dt

Passo 7

Integrando termo a termo:
raiz22 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos(2t) , dt ]
Calculando cada integral:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
integral0^2pi cos(2t) , dt = 0
Então, temos:
raiz22 (2pi - 0) = raiz2 pi

Resposta

Exercícios relacionados